第八讲 基本不等式2021年新高一数学暑假精品课程（苏教版2019）（解析版）

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第八讲 基本不等式
【学习目标】
1.掌握基本不等式 .
2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.
3.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
4.能够利用基本不等式解决实际问题.
【基础知识】
1.∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b时，等号成立.特别地，如果 a>0，b>0，我们用
， 分别代替上式中的 a，b，可得 ，当且仅当 a ＝ b
时等号成立.通常称此不
等式为基本不等式，其中， 叫做正数 a，b的算术平均数， 叫做正数 a，b的几何平
均数.
2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.基本不等式与最大 ( 小 ) 值 　口诀：和定积最大，积定和最小
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知 x，y都是正数，如果和 x＋y等于定值 S，那么当 x ＝ y
时，积 xy 有最大值 S 2
.
(2)已知 x，y都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x ＝ y
时，和 x＋y有最小值 2 .
4.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.
【考点剖析】
考点一：与基本不等式有关的比较大小问题
例1．已知 ， ，证 ， ， ，则 ， ， 之间的大小关系是
．
1
【答案】
【解析】 ， ，
故答案为
考点二：用基本不等式证明不等式
例2．若 ， ，求证： ．
【解析】证明：左式
右式．
．
考点三：利用基本不等式直接求最值
例3．已知 ， ， ，则 的最大值为 　　
A．1 B．C．D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故选 D．
考点四：基本不等式的应用
例4．若 ， ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是 　　
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A． ， ，当且仅当 时等号成立，因此不正确．
2
B．取 ， 时， 不成立．
C． ， ， ， ，当且仅当 时取等号，正确．
D．取 ， 时， 不成立．
故选 C．
【真题演练】
1．已知 ， ，若 ，则 的最小值为 　　
A．4 B．C．2 D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则 ，即最小值为 4．
故选 A．
2．若 ，则 的最大值为 　　
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最大值 ．
故选 C．
3．已知 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为 　　
A．4 B．7 C．9 D．11
【答案】C
3
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