第20讲反函数（反函数的概念，反函数的图像）解析版

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第20 讲反函数（反函数的概念，反函数的图像）

【基础知识】

1、反函数定义

一般地，对于函数 y=f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，如果对 A中任意一个值 y，在 D中总有唯

一确定的 x值与它对应，使 y=f(x),这样得到的 x= 。在习惯上，自变量用 x表示，而函数用 y表示，

所以把它改写为

2、关于反函数的结论

（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，

（2）互为反函数的两个函数 y=f(x)与图像关于直线 y=x 对称；若点 M（a，b）在 y=f(x)

的图像上，则点 (b,a)必在图像上；

（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c, 除外，其中 c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有

反函数，则反函数也是奇函数；

（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的

函数不一定是单调的，比如；

（5）y=f(x)与互为反函数，设 f(x)定义域为 D，值域为 A，则有 f[ ]=x ,

;

（6）如果函数 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；

（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；

（8）x=f(y), , 与函数 y=f(x)的比较；

（9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在 y=x 上，例如：f(x)= 与

函数自变量图像

x=f(y) y 是自变量与 y=f(x)的图像关于 y=x 对称

y是自变量和 y=f(x)的图像相同

x是自变量和 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称

有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于 y=x 对称

3、求反函数的步骤

（1）求反函数 y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；

（2）反解：由 y=(x)解出；

（3）改写：在中，将 x,y 互换得到；

（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。

【考点剖析】

考点一：反函数的概念与存在条件

例1．函数 f(x)= -2ax-3 在区间上存在反函数的重要条件是（）

A、 B、

C、 D、

【难度】★★

【答案】解题策略：应在函数 f(x)的单调区间内。

解：函数对称轴为 x=a。依题意故选 C

例2．求函数 y= +2 的反函数定义域。

【难度】★★

【答案】解：当时 y= +2 ，即 y= +2 的值域是，

∴y= +2 的反函数的定义域为。

注意：反函数的定义域为原函数的值域。

例3．已知 y= x+m 和 y=nx- 互为相反数，求 m,n 的值。

解题策略：求其中一个函数的反函数，与另一个函数对应项相同

【难度】★★

【答案】解：由 y= x+m 得 x=2y-2m,

∴y= x+m 的反函数是 y=2x-2m .

由题设 y=2x-2m 与 y=nx- 表示同一函数，

从而有

注意：一个函数的反函数是唯一确定的。

例4．点（1，2）即在 y= 图像上，又在其反函数的图像上，求 a 与 b 的值。

解题策略：（2，1）点也在函数图像上，待定系数法求 a,b

【难度】★★

【答案】解：点（1，2）在反函数图像上，则点（2，1）在原函数 y= 上，又点（1，2）也在 y=

上，有。

注意：点（a,b）在图像上，则（b,a）一定在 y=f(x)图像上

例5．．已知 f(x)= -1 ,求。

【难度】★★

【答案】解题策略：中的“4”应为 f(x)的一个函数值，就是对应的自变量值

解：令 f(x)= -1=4 得 =5 又

得 x= ,∴ =

注意：先求，再求也可，但不如利用互为反函数的对应法则之间的关系简单。

考点二：求函数反函数的问题

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