第19讲 函数的应用（2）（用二分法求函数零点）解析版

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第19 讲 函数的应用（2）（用二分法求函数零点）
【基础知识】
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进
而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数 定义在区间 D上，求它在 D上的一个零点 x0的近似值 x，使它满足给定的精确度.
第一步：在 D内取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ，零点位
于区间 中.
第二步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算 和 ，并判断：
①如果 ，则 就是 的零点，计算终止；
②如果 ，则零点位于区间 中，令 ；
③如果 ，则零点位于区间 中，令
第三步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算 和 ，并判断：
①如果 ，则 就是 的零点，计算终止；
②如果 ，则零点位于区间 中，令 ；
③如果 ，则零点位于区间 中，令 ；
……
继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当 和 按照给定的精
确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 的近似零点，计算终止.这时函数
1
的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② 、 的值比较容易计算且 ．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程
的根，可以构造函数 ，函数 的零点即为方程 的
【考点剖析】
考点一：用二分法求函数的零点的近似值
例1．已知函数 ．
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若 f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算 f（x）=0 的一个近似解
（精确到 0.1）．
【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断．
（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近
的特征选择正确答案．
【答案】（1）略；（2）1.3
【解析】（1）证明：∵ ，
∴f（1）=－1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（1）·f（2）=－7＜0
且 在（1，2）内连续，
所以 f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）由（1）知 在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）=―1，f（1.5）=1，
∴f（1）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上，
∵f（1.25）=―0.40625，∴f（1.25）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上，
∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上；
∵f（1.3125）=－0.31818，∴f（1.3125）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，
∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125）·f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，
由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且 1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，
所以 f（x）=0 的一个精确到 0.1 的近似解是 1.3．
【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据
其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题．
例2.若函数 的一个正数零点附近的函数值
2
用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
例3.设 ，用二 分法求方程 在 x∈（1，2）内近似解的过程中得 f（1）
＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
【思路点拨】由已知“方程 在 x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，
由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．
【答案】B
【解析】∵f（1.5）•f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选 B．
【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：
一般地，若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f（a）f（b）＜0，则函数
y=f（x）在区间（a，b）上有零点．
考点二：用二分法解决实际问题
例4．某电脑公司生产 A种型号的笔记本电脑，2006 年平均每台电脑生产成本 5000 元，并以纯利
润20%标定出厂价．从 2007 年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降
低，2010 年平均每台 A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006 年出厂价的 80%，但却实现了纯利润
50%的高效益．
（1）求 2010 年每台电脑的生产成本；
（2）以 2006 年的生产成本为基数，用二分法求 2006～2010 年生产成本平均每年降低的百分率（精确到
0.01）
【答案】（1）3200；（2）11%
【解析】（1）设 2010 年每台电脑的生产成本为 P元，根据题意，得 P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得
P=3200（元）．
故2010 年每台电脑的生产成本为 3200 元．
（2）设 2006～2010 年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得 5000(1－x)4=3200（0＜x＜
1），令 f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f (x)的对应值表：
x0 0.1 0.15 0.2 0.3 0.45
f (x) 1800 80.5 －590 －1153 －2000 －2742
观察上表，可知 f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点 x0．取区间（0.1，0.15）的中
f（1）=－2f（1.5）=0.625 f（1.25）=－
0.984
f（1.375）=－
0.260
f（1.4375）=0.
162
f（1.40625）=－
0. 054
3
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