第19讲 ：1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定知识点与典型例题（解析版）-2021年暑期数学初升高衔接专题突破

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第19 讲：1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定知识点与典
型例题（解析版）
要点一、 含有量词的命题的否定
对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题 ： ，
的否定 ： ， ；
从一般形式来看，全称命题“对 M中任意一个 x，有 p（x）成立”，它的否定并不是
简单地对结论部分 p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即
“任意 ”的否定为“ ， ”.
对含有一个量词的特称命题的否定F
特称命题 ： ，
的否定 ： ， ；
从一般形式来看，特称命题“ ， ”，它的否定并不是简单地对结论部
分 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即 “ ，
”的否定为“ ， ”.
要点诠释：
(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.
(3) 正面词：等于F、 大于FF、小于、FFF是、FFF都是、FF至少一个FF、
至多一个、FF小于等于
否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、F一个也没有、F至少两个F、F大
于等于.
要点二、全称命题和特称命题的真假判断
①要判定全称命题“ ， ”是真命题，必须对集合 M中的每一个元素 x，
1
证明 成立；要判定全称命题“ ， ”是假命题，只需在集合 M中找到一
个元素 x0，使得 不成立，即举一反例即可.
②要判定特称命题“ ， ”是真命题，只需在集合 M中找到一个元素
x0，使得 成立即可；要判定特称命题“ ， ”是假命题，必须证明在
集合 M中，使 成立得元素不存在.
类型一：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定
例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并
判断真假.
（1）三角形的内角和为 180°；
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）存在一个四边形不是平行四边形；
（4） ；
（5）.
【解析】
（1）是全称命题且为真命题.
命题的否定：三角形的内角和不全为 180°，
即存在一个三角形，它的内角和不等于 180°，为假命题.
（2）是全称命题且为假命题.
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.
（3）是特称命题且为真命题.
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题.
（4）是全称命题且为真命题.
由于 都有 ，故 ， 为真命题；
： ， 为假命题
（5）是特称命题且为假命题.
因为不存在一个实数 ，使 成立， 为假命题；
2
： ， 为真命题.
【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称
命题的否定是全称命题.
举一反三：
【变式】写出下列命题的否定，并判断真假.
（1） ；
（2）所有的正方形都是矩形；
（3） ；
（4）至少有一个实数 x0，使得 .
【答案】
（1） ： （假命题）；
（2） ：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；
（3） ： （真命题）；
（4） ： （真命题）.
类型二：含有量词的命题的应用
例3．已知 ， ，若 是 的必要不
充分条件，求实数 m的取值范围.
【解析】
q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0
又∵m>0
∴不等式的解为 1-m≤x≤1+m
∵ 是 的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要
条件”
∴不等式 的解集是 x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.
∴实数 m的取值范围是
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