第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题系列（原卷版）

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第18 题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）
I．理论基础·解题原理
（I）对勾函数
一、对勾函数的定义
形如 的函数，叫做对勾函数．
二、对勾函数 的图象与性质
1.定义域
2.值域
当 时， （当且仅当 ，即 时取等号）．[来源:学_科_网]
当 时， （当且仅当 ，即
时取等号）．
函数 的值域为 ．
3.奇偶性
由于双勾函数定义域关于原点对称， ，则对勾函数为奇函数．
4.单调性
由于 ，令 ，解得 或 ，令 ，解得 或
，所以函数 在 上为增函数，在 上 为减函数，在 上为减
函数，在 上为增函数．
5.渐近线
当 时， ，当 时， ，说明函数的的图象在第一、第三象限．
当 时， ，说明函数在第一象限的图象在直线 的上方，当 时，
，说明函数在第三象限的图象在直线 的下方．
双勾函数就是以 轴和直线 为渐近线的双曲线．
特别 时， ，函数图象如下图所示：
（II）绝对值函数
一、绝对值函数的定义：形如 的函数，叫做绝对值函数．
含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，由于去绝对值函数大
多要涉及到分类讨论，对能力要求较高，故备受高考命题者青睐，高考常考的主要有以下 3类：1．形如
 
f x
的函数，研究此类函数往往结合
 
f x
图像，可以看成由
 
f x
的图像在
x
轴上方部分不变，下方
部分关于
x
轴对称得到；2．形如
 
f x
的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究
0x
的情况，
0x
的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值，如
1y x x a  
，
2
y x x a  
等，这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值，再结合图像进行研究．
二、绝对值函数 的图象与性质
1.定义域：R；
2.值域： ；
3.单调性：函数 在 上为减函数，在 上为增函数．
特别 时， ，图象如下图所示
（III）取整函数
取整函数的定义
若x为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数 叫做取整函数．举例如下：
等．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇
偶性、周期性及对称性有联系 ，主要考查函数的性质的应用等．
【技能方法】
解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利
用数形结合思想，解决相应问题．
【易错指导】
注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题．
V．举一反三·触类旁通
考向 1 对勾函数
【例 1】【2018 河北唐山模拟】已知 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【例 2】【2018 云南省师大附中模拟】若函数 在区间 上单调递减，则实数 t的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
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