第16讲 函数的基本性质（2）（函数的单调性）解析版

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第 16 讲 函数的基本性质（2）（函数的单调性）
【基础知识】
注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；
②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“ ”连接；如 的单调递减区间时
和 而不能写成 。
单调性证明四部曲
①任取 , 属于定义域，且令 < ；②作差 － 并变形，一般情况下是变形为几个
式子乘积的形式； ③判断 － 的符号；④得出结论.
复合函数的单调性：同增异减
注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。
单调性与奇偶性之间的关系
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。
单调性的其它等价形式
①对于任意的 ，都有 ，表示 单调递增；
1
对于任意的 ，都有 ，表示 单调递减.
②对于任意的 ，都有 ，表示 单调递增；
对于任意的 ，都有 ，表示 单调递减.
③若 是奇函数，且对定义域内的任意 （ ）都有
恒成立，则 在定义域内递增；
恒成立，则 在定义域内递减.
【考点剖析】
考点一：单调性的概念及简单基本函数的单调性
例 1．设 是定义在 上的函数．
①若存在 ，当 时、有 成立，则函数 在 上单调递增；
②若存在 ，当
21
xx
时，有 成立，则函数
)(xf
在 上不可能单调递
减；
③若存在 ，对于任意 ，都有 成立，则函数
)(xf
在
R
上
单调递增；
④任意
Rxx
21
,
，当
21
xx
时，都有 成立，则函数
)(xf
在
R
上单调递减．
以上命题正确的序号是（ ）
（A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）②
【难度】★★
【答案】D
例 2．判断命题：
（ 1 ） 已 知 均 为 上 的 单 调 递 增 函 数 ， 则
是 上单调递增函数；
（ 2 ） 已 知 的 定 义 域 为 ， ，
为 上的增函数。
（ 3 ） 已 知 的 定 义 域 为 ， 在
上单调递增，则 在 上单调递增。
（4）偶函数一定不是单调函数。
【难度】★★
【答案】（1）错（2）错（3）错（4）对
2
例 3.定义在 R 上的函数 f(x)的图像过点 M（－6，2）和 N（2，－6），且对任意正实数 k，有
f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4 的解集为(－4,4)时，实数 t 的值为 .
【难度】★★
【答案】2
例 4．写出下列函数对应的单调区间
（1） 的递增区间是___________________，递减区间是____________________；
（2） 的单调递增区间 ；
（3） 的单调递增区间
（4） 的单调递增区间 .
【难度】★★【答案】（1） （2） （3） 和
（4）
【解析】（1）画图（2）不要忽略定义域（3）画图，多个单调递增区间不能用“ ”连接（4）单调函数
四则运算规律
例 5．已知函数 ， ，且 与 的图像在
轴上的截距相等，则函数 的单调递增区间
【难度】★★
【答案】
例 6．求 的单调递增区间
【难度】★★
【答案】 和
【解析】 ，令 ，原函数变为 从而可得函数的递增
区间为 和
3
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