第13讲 立体几何中的空间向量-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（学生版）

3.0 envi 2025-04-15 4 4 1.47MB 14 页 3知币
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第13 讲 立体几何中的空间向量
【学习目标】
1.掌握用空间向量方法证明平行垂直关系.
2.掌握用空间向量方法求解空间角.
【基础知识】
一.平行垂直问题基础知识
直线 l的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)．平面 α，β的法向量 u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)
(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0
(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3
(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4
(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0
二.利用空间向量求空间角基础知识
(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a，b的方向向量分别为 a，b，异面直线所成的角为 θ，则 cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝.
(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成的角为 θ，则 sin θ＝|
cos〈n，a〉|＝.
(3)向量法求二面角：求出二面角 α－l－β的两个半平面 α与β的法向量 n1，n2，
若二面角 α－l－β所成的角 θ为锐角，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ；
若二面角 α－l－β所成的角 θ为钝角，则 cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－ .
【考点剖析】
考点一：通过空间向量判断位置关系
例1、如图所示，在底面是矩形的四棱 锥 PABCD 中 ， PA⊥ 底 面
ABCD，E，F分别是 PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面 PAB；
(2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC.
[证明]　以A为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间
1
直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E
，F， ＝ ， ＝(1,0，－1)， ＝(0,2，－1)， ＝(0,0,1)， ＝
(0,2,0)， ＝(1,0,0)， ＝(1,0,0)．
(1)因为 ＝－ ，所以 ∥ ，即 EF∥AB.
又AB⊂平面 PAB，EF⊄平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB.
(2)因为 ·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以 ⊥ ， ⊥ ，即 AP⊥DC，AD⊥DC.
又AP∩AD＝A，AP⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD.因为 DC⊂平面 PDC，
所以平面 PAD⊥平面 PDC.
使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方
向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平
面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以
证明两个平面的法向量垂直.
跟踪训练 1
在直三棱柱 ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点 E在线段 BB1上，
且EB1＝1，D，F，G分别为 CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：(1)B1D⊥平面 ABD；
(2)平面 EGF∥平面 ABD.
证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系，如图所示，则 B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设 BA＝a，则 A(a,0,0)，
所以 ＝(a,0,0)， ＝(0,2,2)， ＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即 B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此 B1D⊥平面 ABD.
(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则 ＝ ， ＝(0,1,1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即 B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.
2
考点二：空间中的角
例2、如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，
点D是BC 的中点．
(1)求异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值．
【 解 析 】 (1) 以A为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 Axyz ， 则
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以 ＝(2,0，－4)，
＝(1，－1，－4)．
因为 cos〈 ， 〉＝ ＝ 所以异面直
线A1B与C1D所成角的余弦值为 .
(2)设平面 ADC1的法向量为 n1＝(x，y，z)，因为 ＝(1,1,0)， ＝
(0,2,4)，所以 n1·＝0，n1·＝0，即 x＋y＝0且y＋2z＝0，取 z＝1，得 x＝2，y＝－2，
所以，n1＝(2，－2,1)是平面 ADC1的一个法向量．取平面 ABA1的一个法向量为 n2＝(0,1,0)．
设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 θ.
由|cos θ|＝ ＝ ，得 sin θ＝.
因此，平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 .
(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论
证、计算；⑤转化为几何结论．
(2)求空间角应注意：
①两条异面直线所成的角 α不一定是直线的方向向量的夹角 β，即 cos α＝|cos β|.
②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．
跟踪训练 2 如图，在四棱锥 SABCD 中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，
平面 SAD⊥平面 ABCD，E是线段 AD 上一点，AE＝ED＝ ，SE⊥AD.
(1)证明：平面 SBE⊥平面 SEC；
3
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