第12讲 空间向量及其运算-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第12 讲 空间向量及其运算
【学习目标】
1.通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
2.掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
【基础知识】
知识点一　空间向量的概念
思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是 A，终点是 B，则 a也可记作 ，
其模记为|a|或| |.
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为 0的向量叫零向量，记为 0
单位向量 模为
1
的向量叫单位向量
相反向量 与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量，记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量
或相等向量
知识点二　空间向量的加减运算及运算律
思考 1　下面给出了两个空间向量 a、b，作出 b＋a，b－a.
答案　如图，空间中的两个向量 a，b相加时，我们可以先把向量 a，b平移到同一个平面 α内，以任意点
O为起点作 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋OB＝a＋b， ＝ － ＝b－a.
思考 2　由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量
的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？
答案　先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运
1
算即可；图 1是三角形法则，图 2是平行四边形法则．
梳理　(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝ ＋ ＝a＋b
＝ － ＝a－b
＝ ＋ ＝ ＋ ＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三　空间向量的数乘运算
思考　实数 λ和空间向量 a的乘积 λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是 a的长度的|λ|倍．
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
梳理　(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数 λ与空间向量 a的乘积 λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作 λa，其长度
和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|.
②当 λ>0 时，λa与向量 a方向相同；当 λ<0 时，λa与向量 a方向相反；当 λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝(λμ)a；
②λ(a＋b)＝λa＋λb；
③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．
知识点四　共线向量与共面向量
思考 1　回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．
答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
思考 2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？
答案　正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，
成为共面向量．
梳理　(1)平行(共线)向量
定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重
合
充要条件 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，存在唯一实数 λ，使 a＝λb
2
点P在直线 l上的
充要条件
存在实数 t满足等式
＝ ＋ta在直线
l上取向量 ＝a，
则 ＝ ＋t
向量 a为直线的方向向量
(2)共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的
充要条件
向量 p与不共线向量 a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对
(x，y)使p＝xa＋yb
点P位于平面
ABC 内的充要条
件
存在有序实数对(x，y)，使 ＝x＋y
对空间任一点 O，有 ＝ ＋x＋y
知识点五　空间向量数量积的概念
思考　如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC
＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量 与 的数量积？并总
结求两个向量数量积的方法．
解析∵ ＝ － ，
∴·＝·－·
＝| || |cos〈 ， 〉－| || |cos〈 ， 〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向
量来表示该向量，再代入计算．
梳理　(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b的数量积，记作 a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)空间向量的夹角
①定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作 ＝a， ＝b，则∠ AOB
叫做向量 a与b的
夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝ 时，a⊥b.
知识点六　空间向量的数量积的性质
两个向量数量积
的性质
①若 a，b是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0
②若 a与b同向，则 a·b＝|a|·|b|；若反向，则 a·b＝－|a|·|b|.
3
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