第11讲 抛物线-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第11 讲 抛物线
【学习目标】
1.掌握抛物线的定义与相关概念；
2.掌握抛物线的标准方程；
3.了解掌握抛物线中的焦半径，中点弦，点差法等计算.
【基础知识】
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点 F的距离与到定直线 l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．❶
其中点 F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程❷和几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x0，y0)) |PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋
若定点 F在定直线 l上，则动点的轨迹为过点 F且垂直于 l的一条直线．
四种不同抛物线方程的异同点
共同点 (1)原点都在抛物线上；
1
(2)焦点都在坐标轴上；
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都
等于一次项系数的绝对值的 ，即 ＝
不同点
(1)焦点在 x轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2；焦点在 y轴上时，方程的右
端为±2py，左端为 x2；
(2)开口方向与 x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在 x轴(或y轴)的正半轴上，方
程的右端取正号；开口方向与 x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在 x轴(或y轴)
的负半轴上，方程的右端取负号.
3.常用结论
设AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝ ，|BF|＝ ，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦 AB 的倾斜角)；
(3) ；
(4)以弦 AB 为直径的圆与准线相切；
(5)以AF 或BF 为直径的圆与 y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
【考点剖析】
考点一：抛物线的定义及应用
例 1．(1)若抛物线 y2＝4x上一点 P到其焦点 F的距离为 2，O为坐标原点，则△OFP 的面积为(
)
A. 　　　　　　　　　 B．1
C. D．2
(2)设P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【答案】(1)B　(2)4
【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
又点 P到焦点 F的距离为 2，
∴由定义知点 P到准线的距离为 2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入抛物线方程得|yP|＝2，
2
∴△OFP 的面积为 S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.
(2)如图，过点 B作BQ垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，
则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
【变式发散】
1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为 B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【答案】：2
【解析】：由题意可知点 B(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为 B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为 2 .
2．(变设问)在本例(2)条件下，点 P到点 A(－1,1)的距离与点 P到直线 x＝－1的距离之和的最小值为______
__．
【答案】：
【解析】：如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x＝－1，
由抛物线的定义知点 P到直线 x＝－1的距离等于点 P到点 F的距离．于 是，问题
转化 为在 抛物 线上 求一 点 P，使 点 P到点 A(－1,1) 的距 离与 点 P到点 F(1,0) 的
距离之和最小，显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此 时最小值
为 ＝ .
【解题技法】
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准
线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
【提示】注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F的距离|PF|＝|x|＋ 或|PF|＝|y|＋.
【过关训练】
1．若点 A的坐标为(3,2)，F是抛物线 y2＝2x的焦点，点 M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的
M的坐标为________．
【答案】：(2,2)
【解析】：过点 M作准线的垂线，垂足是 N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当 A，M，N三点共线时，|MF|
＋|MA|取得最小值，此时 M(2,2)．
2．(201·襄阳测试)已知抛物线 y＝x2的焦点为 F，准线为 l，M在l上，线段 MF 与抛物线交于 N点，若|
MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
【答案】：
【解析】：如图，过 N作准线的垂线 NH，垂足为 H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|
3
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