第10讲 双曲线-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第10 讲 双曲线
【学习目标】
1. 理解和掌握双曲线的定义，以及双曲线标准方程的推导；
2．会根据所给的条件画出双曲线的草图并求出双曲线的标准方程。
3.掌握双曲线的性质，明确离心率，渐近线等概念.
【基础知识】
1．双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这
两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a＞0，c＞0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围 x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－
a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－
a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关
系c2＝a2＋b2
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支 ，
1
具体是左支还是右支视情况而定．
设双曲线上的点 M到两焦点 F1，F2的距离之差的绝对值为 2a，则 0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．
①若 2a＝|F1F2|，则点 M的轨迹是分别以 F1，F2为端点的两条射线；
②若 2a＞|F1F2|，则点 M的轨迹不存在；
③若 2a＝0，则点 M的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
3.常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
2．若 P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为 ；异支的弦中最短的为实轴，
其长为 2a.
4．若 P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 S△PF1F2＝
，其中 θ为∠F1PF2.
5．若 P是双曲线 (a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线
的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心 I的横坐标为定值 a.
6．等轴双曲线
(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：① a＝b；② e＝ ；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两
焦点距离的等比中项．
7．共轭双曲线
(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共
轭双曲线．
(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于 1.
【考点剖析】
考点一：双曲线的标准方程
1．(2021·绵阳联考)已知双曲线 C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±x，且其右焦点为
(5,0)，则双曲线 C的标准方程为(　　)
A. 　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】B
2
【解析】由题意得 ＝ ，c2＝a2＋b2＝25，所以 a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为 .
2．与椭圆 ＋y2＝1共焦点且过点 P(2,1)的双曲线标准方程是(　　)
A. －y2＝1 B. －y2＝1
C. － ＝1 D．x2－ ＝1
【答案】B
【解析】法一：椭圆 ＋y2＝1的焦点坐标是(± ，0)．
设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)，
因为双曲线过点 P(2,1)，
所以 ，又 a2＋b2＝3，
解得 a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是 －y2＝1.
法二：设所求双曲线标准方程为 (1＜λ＜4)，
将点 P(2,1)的坐标代入可得 ，
解得 λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为 －y2＝1.
3．过双曲线 C： (a＞b＞0)的右顶点作 x轴的垂线，与 C的一条渐近线相交于点 A.若以 C的右
焦点 F为圆心、半径为 4的圆经过 A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线 C的标准方程为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为渐近线 y＝x与直线 x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且 ＝4，解得 a2＝4，b2＝
3
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