第10讲 对数（对数的定义，对数的运算性质，对数的换底）解析版

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第10 讲 对数（对数的定义，对数的运算性质，对数的换底）
【基础知识】
一、对数概念
1.对数的概念
如果 ，那么数 b叫做以 a为底 N的对数，记作:logaN=b.其中 a叫做对数的底
数，N叫做真数.
要点诠释：
对数式 logaN=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.
2.对数 具有下列性质：
(1)0 和负数没有对数，即 ；
(2)1 的对数为 0，即 ；
(3)底的对数等于 1，即 .
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， .以e（e是一个无理数，
）为底的对数叫做自然对数， .
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系
可由下图表示.
由此可见 a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
二、对数的运算法则
已知
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
(2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
1
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才
能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与log2(-5)是
不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是 错
误的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
三、对数公式
1．对数恒等式：
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0， a≠1， M>0 的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 则有 ab=M， (ab)n=Mn，即 ， 即 ，即: .
(2) ，令 logaM=b， 则有 ab=M， 则有
即 ， 即 ，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以
得到一个重要的结论:
.
【考点剖析】
考点一：指数式与对数式互化及其应用
例1．将下列指数式与对数式互化：
2
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题
的重要手段.
考点二：利用对数恒等式化简求值
例2．求值：
【答案】35
【解析】 .
【总结升华】对数恒等式 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为
真数.
考点三：积、商、幂的对数
例3． 表示下列各式
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）=．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须
准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算
对应着对数的和、差、积得运算．
考点四：换底公式的运用
例4已知 ，求 ．
【答案】
【解析】
3
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