第09讲 直线与椭圆位置关系-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第09 讲 直线与椭圆位置关系
【学习目标】
1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；
2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；
3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；
4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.
【基础知识】
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆 (a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔；
点P在椭圆内部⇔；
点P在椭圆外部⇔.
2．直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m与椭圆 (a>b>0)的位置关系：
联立 消去 y得一个关于 x的一元二次方程．
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ<0
思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线 y＝kx＋1与椭圆 有怎样的位置关系？
[提示]　(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线 y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆 的内部，因此直线与椭圆相交．
1
【考点剖析】
考点一：直线与椭圆的位置关系
1．若直线 y＝kx＋1与椭圆 总有公共点，则 m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
【答案】D
【解析】由于直线 y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0＜ ≤1且m≠5，故 m≥1 且m≠5.
2．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：.试问当 m取何值时，直线 l与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解析】将直线 l的方程与椭圆 C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．
这时直线 l与椭圆 C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即 m＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线 l与椭圆 C有两个互相重合的公共点，即直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即 m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线 l与
椭圆 C没有公共点．
【名师微点】
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点二：弦长问题
例 1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 (a＞b＞0)的离心
率为 ，过椭圆右焦点 F作两条互相垂直的弦 AB 与CD.当直线 AB 的斜率为 0时，
|AB|＝4.
2
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝ ，求直线 AB 的方程．
【解析】(1)由题意知 e＝ ＝ ，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝ ，
所以椭圆方程为 .
(2)① 当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝
7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线 CD 的方程为 y＝－ (x－1)．
将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则 x1＋x2＝ ，x1·x2＝
，
所以|AB|＝ |x1－x2|
＝·＝.
同理，|CD|＝ ＝ .
所以|AB|＋|CD|＝ ＋
＝ ，解得 k＝±1，
所以直线 AB 的方程为 x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
【解题技法】
1．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线 l与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的
常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|；
②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)；
3
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