第8讲 基本不等式及其应用（解析版）

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第8讲 基本不等式及其应用
【基础知识】
一、平均值不等式：
变式：
推广： 是 个正数，则 称为这 个正数的算术平均数， 称
为这 个正数的几何平均数，
它们的关系是： ，当且仅当 时等号成立。
二、三角形不等式
1
如果 是实数，则
注：当 为复数或向量时结论也成立.
推论 1：
推论 2：如果 是实数,那么 ,当且仅当 时,等号成立.
【考点剖析】
考点一：简单基本不等式问题
例3．条件“ 且 ”是结论“ ”成立的 条件。
【难度】★【答案】充分非必要条件
2
例4．已知正数 满足 ，求 的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，
请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
的最小值为
【难度】★
【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，
223
ab
ba2
23
b
a2
a
b
3
b
b2a2
a
ba
b
2
a
1
当
b
a2
a
b
时，即
22b,12a,a2b
，取得最小值。
例5．如果正数 满足 ，那么（ ）
（A） ，且等号成立时 的取值唯一
（B） ，且等号成立时 的取值唯一
（C） ，且等号成立时 的取值不唯一
（D） ，且等号成立时 的取值不唯一
【难度】★★【答案】A
例6．设 a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+b+ ≥2 B
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(a+b)( + )≥4 C
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≥a+b D
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≥
【难度】★★
【答案】D， A,B 显然满足，而 C 中，
考点二：不等式的最值问题
例1．
3
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