第08讲 椭圆的几何性质-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第08 讲 椭圆的几何性质
【学习目标】
1.掌握椭圆的几何性质，会画出椭圆的图形；
2.学会运用代数法来研究椭圆的几何性质，能根据标准方程得出其几何性质；
3.培养学生观察、分析、概括、总结等能力，学会提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【基础知识】
1．椭圆的定义
平面内到两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点 F1，F2叫做椭圆
的焦点．
集合 P ＝ { M || MF 1| ＋ | MF 2| ＝ 2 a } ， | F 1F2| ＝ 2 c ，其中
a ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且
a ， c
为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段 F1F2；
(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0)
图形
性
质
范围 　 　x∈[－a，a]，　y∈[－b，b]　x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率 e＝ ，且 e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于 1时，c越接近于 a，从而 b＝ 越小，因此椭圆越扁；
当e越接近于 0时，c越接近于 0，从而 b＝ 越大，因此椭圆越接近圆；当 e＝0时，c＝0，a＝b，
两焦点重合，图形就是圆.
[熟记常用结论]
1．焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，
分别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
1
(1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2
的面积为 S，则在椭圆 (a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P为短轴端点时，S取最大值，最大值为
bc.
(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝.
4．AB 为椭圆 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则
(1)弦长 l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－ .
【考点剖析】
考点一：椭圆的定义及应用
例 1．(1)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆 M在圆 C1内部且和圆 C1相内切，
和圆 C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为(　　)
A. 　　　　　 B.
C. D.
(2)已知 F1，F2是椭圆 C： (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆 C上的一点，且 ⊥ .若
△PF1F2的面积为 9，则 b＝__________.
(3)已知 F是椭圆 5x2＋9y2＝45 的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为_
_______，最小值为________．
2
【答案】(1)D　(2)3　(3)6＋ 　6－
【解析】(1)设圆 M的半径为 r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以 M的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为 .
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－( )＝4a2－4c2＝4b2，
∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
(3)椭圆方程化为 ，
设F1是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)，
∴|AF1|＝ ，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴6－ ≤|PA|＋|PF|≤6＋.
【变式发散】
1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为 18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．
【答案】
【解析】由原题得 b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以 a－c＝1，解得 a＝5，
故椭圆方程为 .
2．(变条件)将本例(2)中的条件“ ⊥ ”“△PF1F2的面积为 9”变为“∠F1PF2＝60° ”，“ ＝3
”，则 b的值为________．
【答案】3
【解析】因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60° ，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以 3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
3
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