第7讲 分式、绝对值不等式的求解（原卷版）

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第7讲 分式、绝对值不等式的求解
【基础知识】
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等
式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不
等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等
式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法
是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形
结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类
标准明晰．
1 、分式不等式的解法
（1）进行同解变形： ；
分式不等式转化为整式不等式来解． ；
（2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零．
2 、含有绝对值不等式的解法
（1）掌握可化为 ， 的绝对值不等式的解法（其中 是关于 x的一次多项
式）.
（2） 的解集为 ； 的解集为 .
（3）两边平方是解形如 的绝对值不等式的常用方法.
（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.
3
、含参不等式的求解 ，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母
对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无
理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函
数、方程和不等式的相互转化来解题.
【考点剖析】
考点一：分式不等式
1
例1
例2．
例3.
例4．不等式 的解集是（ ）
Ａ、 　　Ｂ、 　　Ｃ、 　　Ｄ、
例5．解下列分式不等式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
2
例6．若关于 的不等式 ；
（1）当 时，求它的解集；
（2）若 ，求不等式的解集．
例7．已知关于 的不等式 的解集是 ；
（1）当 时，求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
例8．解关于
x
的不等式 ,其中|
a
|≠1．
3
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