第7讲分式、绝对值不等式的求解（解析版）

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第7讲分式、绝对值不等式的求解

【基础知识】

解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等

式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不

等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等

式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法

是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形

结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类

标准明晰．

1 、分式不等式的解法

（1）进行同解变形：；

分式不等式转化为整式不等式来解．；

（2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零．

2 、含有绝对值不等式的解法

（1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于 x的一次多项

式）.

（2）的解集为；的解集为 .

（3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法.

（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.

、含参不等式的求解，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母

对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无

理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函

数、方程和不等式的相互转化来解题.

【考点剖析】

考点一：分式不等式

例1

例2．

例3.

例4．不等式的解集是（）

Ａ、　　Ｂ、　　Ｃ、　　Ｄ、

【难度】★【答案】C

例5．解下列分式不等式：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

【难度】★★

【解析】（1）

（2）原不等式可化为，此不等式与同解，

由得或，所以原不等式的解集是．

（3）原不等式可化为，即．由于的判别式，

故的值恒大于，于是原不等式与的解集相同．解得或

．所以，原不等式的解集为．

（4）原不等式等价于 ∴原不等式的解为：．

例6．若关于的不等式；

（1）当时，求它的解集；

（2）若，求不等式的解集．

【难度】★★【答案】（1）；

（2）时，；时，；时，

例7．已知关于的不等式的解集是；

（1）当时，求集合；

（2）若，求实数的取值范围．

【难度】★★

【答案】（1）（2）

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