第07讲逻辑联结词、全称命题与特称命题-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第07 讲逻辑联结词、全称命题与特称命题

【学习目标】

1．掌握逻辑联结词“或、且”的含义

2．正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题

3．掌握真值表并会应用真值表解决问题

4．理解掌握全称命题与特称命题，并掌握命题的否定.

【基础知识】

1．命题 p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p q p ∧ q p ∨ q p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2．全称量词与存在量词

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃

3．全称命题与特称命题

命题名称命题结构命题简记

全称命题对M中任意一个 x，有 p(x)成立 ∀x∈M，p(x)

特称命题存在 M中的一个 x0，使 p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0)

4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题

名称语言表示符号表示命题的否定

全称

命题

对M中任意一个 x，有

p(x)成立

∀x∈M，

p(x)

∃x0∈M，p(x0)

特称

命题

存在 M中的一个 x0，使

p(x0)成立

∃x0∈M，

p(x0)

∀x∈M，p(x)

【考点剖析】

考点一：含有逻辑联结词的命题真假判断

例 1．(1) 设a，b，c是非零向量．已知命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若

a∥b，b∥c，则 a∥c.则下列命题中真命题是(　　)

A．p∨q　　　　　　　　　 B．p∧q

C．(p)∧(q) D．p∨(q)

(2)已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x在R上为增函数，

p2：函数 y＝2x＋2－x在R上为减函数，

则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命题是(　　)

A．q1，q3 B．q2，q3

C．q1，q4 D．q2，q4

【答案】(1)A　(2)C

【解析】　(1)由题意知命题 p为假命题，命题 q为真命题，所以 p∨q为真命题．故选 A.

(2)∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，

∴y＝2x－2－x在R上是增函数，

∴p1：函数 y＝2x－2－x在R上为增函数是真命题．

p2：函数 y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题，

故q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(p1)∨p2是假命题，q4：p1∧(p2)是真命题．

故真命题是 q1，q4，故选 C.

【思维升华】判断含有逻辑联结词命题真假的 3个步骤

【迁移应用】

1.(2021·荆州调研)已知命题 p：方程 x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题 q：函数 f(x)＝x＋的最小值为

4.给出下列命题：① p∧q；② p∨q；③ p∧(綈q)；④(p)∨(q)，则其中真命题的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】C

【解析】　在方程 x2－2ax－1＝0中，由于 Δ＝4a2＋4>0，所以方程 x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题

p是真命题；当 x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题 q为假命题．所以 p∨q，p∧(q)，(

p)∨(q)是真命题，故选 C.

考点二：含有量词的命题

考法(一)　含有量词的命题的真假判断　

[例1]　下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R,2x－1>0　　　　 B．∀x∈N*，(x－1)2>0

C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2

【答案】B

【解析】当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当 x＝1时取等号，故 B不正确；易知 A、C、D正

确，故选 B.

【思维升华】全称命题与特称命题真假判断的方法

判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M中的每一个元素 x，证明 p(x)成立；要判断特称命

题是真命题，只要在限定集合内找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立．

考法(二)　含有量词的命题的否定　

[例2]　命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2

【答案】D

【解析】由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以

“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2”．

【思维升华】全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

考法(三)　根据全(特)称命题的真假求参数　

[例3]　已知 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 m

的取值范围是________．

【答案】

【解析】当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，

当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，

由题意可知，f(x)min≥g(x)min，

得0≥－m，所以 m≥.

【思维升华】根据全(特)称命题的真假求参数的思路

与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，

一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)

求出参数的值或范围．

【迁移应用】

1．已知命题 p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)

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