第06讲命题及其关系+充分条件与必要条件-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（学生版）

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第06 讲四种命题的关系、充分条件与必要条件

【学习目标】

1．了解四种命题的概念．

2．认识四种命题的结论，会写出某命题的逆命题，否命题和逆否命题．

3．理解四种命题的关系．

4．会利用命题的等价性解决问题。

5．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；

6．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；

7．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.

8．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.

【基础知识】

一．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为

假的语句叫做假命题．

二．四种命题及其关系

四种命题间的相互关系四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的

真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的

真假性没有关系

三．充分条件与必要条件的相关概念

记p，q对应的集合分别为 A，B，则

p是q的充分条件 p⇒q A⊆B

p是q的必要条件 q⇒p A⊇B

p是q的充要条件 p⇒q且q⇒pA＝B

p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A B

p是q的必要不充分条件 p q 且q⇒pA B

p是q的既不充分条件也不

必要条件 p q 且q p A B 且A⊉B

四.熟记常用结论

1．充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若 p是q的充分条件，则 q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．

(2)传递性：若 p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则 p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且

q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得：

(1)p⇒q等价于 q⇒p；

(2)q p 等价于綈p q.

【考点剖析】

考点一：命题及其关系

1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是(　　)

A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0

B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0

C．若 x≠0且y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0

D．若 x≠0或y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0

【答案】D

【解析】x2＋y2＝0的否定为 x2＋y2≠0；

x＝y＝0的否定为 x≠0或y≠0.

故“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．

2．有以下命题：

①“若 xy＝1，则 x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；

③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为(　　)

A．①②　　　　　　　　 B．②③

C．④ D．①②③

【答案】D

【解析】①“若x，y互为倒数，则 xy＝1”是真命题；

②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；

③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；

④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.

3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆

否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)

A．3 B．2

C．1 D．0

【答案】C

【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、

否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．

【思维升华】

1．由原命题写出其他 3种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与

结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

[提醒]　(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．

2．判断命题真假的 2种方法

(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反

例即可．

(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接

判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．

考点二：充分、必要条件的判定

例 1．已知条件 p：x>1 或x<－3，条件 q：5x－6>x2，则 p是q的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】法一：定义法

由5x－6>x2，得 2<x<3，即 q：2<x<3.所以 q⇒p，p推不出 q，所以 p是q的必要不充分条件，故选 B.

法二：集合法

由5x－6>x2，得 2<x<3，故 q：A＝{x|2＜x＜3}，p：B＝{x|x＞1或x＜－3}，显然 AB，故 p是q的必要

不充分条件，故选 B.

【思维升华】充分、必要条件的 2种判断方法

定义法直接判断“若p，则 q”“若q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结

论是什么

集合法利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即

可解决充分必要性的问题

【迁移应用】

1．(2020·浙江高考)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵a>0，b>0，

若a＋b≤4，∴2≤a＋b≤4.

∴ab≤4，此时充分性成立．

当a>0，b>0，ab≤4时，令 a＝4，b＝1，则 a＋b＝5>4，

这与 a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．

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