第5讲 等式与不等式的性质（解析版）

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第 5 讲 等式与不等式的性质
【基础知识】
1．等式的性质
2.方程的解集
含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
3.一元二次方程的解集
一般地，
Δ
＝
b
2－4
ac
称为一元二次方程
ax
2＋
bx
＋
c
＝0(
a
≠0)的判别式．
4．一元二次方程根与系数的关系
5、不等式的性质：
（1）
（2）
;, cacbba
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
1
注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：
其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。
其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；
二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法
作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；
第三步：定号，重点是能确定是大于 0，还是等于 0，还是小于 0．最后得结论．概括为“三步，
—结论”，这里的“变形”一步最为关键．
注 1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时 ，
再作差，予以比较；
注 2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．
作商法：
注：在两式无法确定正负号或是否可能为 0 的情况下无法适用.
作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与 1 比大小从而确定两个数的大小.
【考点剖析】
考点一：等式的性质
考点二：方程的解集
2
考点三：一元二次方程的解集及根与系数的关系
（1）方程根个数的判断及应用
例1已知关于
x
的一元二次方程 3
x
2－2
x
＋
k
＝0，根据下列条件，分别求出
k
的范围．
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有实数根；
(4)方程无实数根．
【解】　
Δ
＝(－2)2－4×3
k
＝4(1－3
k
)．
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以
Δ
>0，即 4(1－3
k
)>0，
所以
k
<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以
Δ
＝0，即 4(1－3
k
)＝0，
所以
k
＝.
(3)因为方程有实根，
所以
Δ
≥0，即 4(1－3
k
)≥0，
所以
k
≤.
(4)因为方程无实根，
所以
Δ
<0，即 4(1－3
k
)<0，所以
k
>.　
例 2．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．
(1)2
x
2－3
x
＋1＝0；
(2)4
y
2＋9＝12
y
；
(3)5(
x
2＋3)－6
x
＝0.
解：(1)因为
Δ
＝(－3)2－4×2×1＝1>0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程可化为 4
y
2－12
y
＋9＝0，
因为
Δ
＝(－12)2－4×4×9＝0，
所以原方程有两个相等的实数根．
(3)原方程可化为 5
x
2－6
x
＋15＝0，
因为
Δ
＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，
所以原方程没有实数根．
3
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