第05讲 基本不等式-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第05 讲 基本不等式
【学习目标】
1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号
的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．会利用基本不等式求解最值，掌握基本不等式的应用
【基础知识】
1.基本不等式： ≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b
时取等号.
(3)其中 称为正数 a，b的算术平均数， 称为正数 a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知 x≥0，y≥0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y
时，x＋y有最小值是 2 (简记：积定和最小).
(2)如果和 x＋y是定值 s，那么当且仅当 x ＝ y
时，xy 有最大值是 (简记：和定积最大).
[微点提醒]
1. ≥2(a，b同号)，当且仅当 a＝b时取等号.
2.ab≤ ≤ .
1
3. (a>0，b>0).
【考点剖析】
考点一：利用基本不等式求最值
角度 1　通过配凑法求最值
【例 1－1】 (2021·乐山一中月考)设0<x<，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
【答案】
【解析】y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝ ，
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝ 时，等号成立.
∵ ∈ ，∴函数 y＝4x(3－2x)的最大值为 .
角度 2　通过常数代换法求最值
【例 1－2】 (2021·潍坊调研)函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A在直线 mx＋ny－1＝0上，
且m，n为正数，则 的最小值为________.
【答案】4
【解析】∵曲线 y＝a1－x恒过定点 A，x＝1时，y＝1，
∴A(1，1).
将A点代入直线方程 mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，
可得 m＋n＝1，
∴ ＝ ·(m＋n)＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当 且 m＋n＝1(m>0，n>0)，即 m＝n＝ 时，取得等号.
规律方法　在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要
2
有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、
换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
【训练 1】 (1)(2021·济南联考)若a>0，b>0 且2a＋b＝4，则 的最小值为(　　)
A.2 B. C.4 D.
(2)已知 x<，则 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为______.
【答案】(1)B　(2)1
【解析】(1)因为 a>0，b>0，故 2a＋b≥2 (当且仅当 2a＝b时取等号).
又因为 2a＋b＝4，
∴2≤4⇒0<ab≤2，
∴≥，故 的最小值为 (当且仅当 a＝1，b＝2时等号成立).
(2)因为 x<，所以 5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋ ＝－ ＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1.
考点二：基本不等式在实际问题中的应用
例 1． 运货卡车以每小时 x千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：千米
3
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