第4讲 反证法（解析版）

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第 4 讲 反证法
数学家哈代曾经说过：“反证法是数学家最好的武器之一”．在这小节我们学习如何用反证法证明一
些命题．
在前面已经提到，要判断命题“若 α，则 β”是假命题，只要存在一个满足条件 α 但不满足结论 β
的对象就行了．
但是要判断命题“若 α，则 β”是真命题，就需要证明所有满足条件 α 的对象都满足结论 β．但有
时直接验证这一点并不是一件容易的事。
【基础知识】
反证法的定义：
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚
假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推
理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证
中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系
的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种
有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，
如果有多种情况，则必须一一否定．
【考点剖析】
例1．（1）想一想，我们接触过哪些数学问题是用反证法证明的？在实际生活中有没有这样的例子？
请举出一例。
【答案】
比如线面平行的判定定理的证明等
1
生活中的反证法举例：
人的从众心理：这个餐厅的菜很难吃。假设好吃，那么周末晚上一生意很好，而实际没有顾客，于是
矛盾，所以假设不成立，所以难吃.
（2）设 均为正实数，反证法证明： 至少有一个不小于 2.
【解析】
【分析】
假设结论反面成立，即 全部小于 2.然后推理出矛盾结论．
【详解】
证明：假设 全部小于 2.即 ，
则 ，①
又 ，当且仅当
时等号成立，
与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．
所以 至少有一个不小于 2.
例2．.试说出下列命题的反面：
（1）a 是实数。 　　 （2)a 大于 2。
（3）a 小于 2。 　　 （4）至少有 2 个
（5）最多有一个 　 　（6）两条直线平行。
【答案】
（1）a 不是实数。 　　 （2)a 小于等于 2。
（3）a 大于等于 2。 　　 （4）至多有 1 个
2
（5）最少有两个 　 　 （6）两条直线不平行。
例3．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第
一步反设：如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形是等腰三角形。　
例4．已知：一个整数的平方能被2整除 求证：这个数是偶数。
证明：假设这个整数不是偶数，则由题意可知该数为奇数，
设该整数为 2
n
+1，则(2
n
+1)2=4
n
2+4
n
+1，
显然不能被2整除，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以这个整数是偶数。
（1）否定结论；（2）推出矛盾；（3）结论成立
思考：反证法的步骤是什么？
3
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