第04讲 不等式的性质及一元二次不等式与简单线性规划问题-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第04 讲 不等式的性质及一元二次不等式与简单线性规划问题
【学习目标】
1通过具体的情景，了解不等式（组）的实际背景，借助数轴能从“形”和“数”两个方面来认识不等式.
2.理解不等式的性质，能运用不等式的性质证明简单的不等式以及解不等式.
3.掌握一元二次不等式的基本解法，并解决一些实际问题.
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
5.能从实际中抽象出简单的二元线性规划问题。并能加以解决.
6.能将实际问题转化成数学问题，建立不等式模型，求解不等式.
【基础知识】
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a<b⇔a－b<0.
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0 (a＞0)
的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
1
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 { x | x 1＜ x ＜ x 2}∅ ∅
[微点提醒]
4.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).
(2)若ab>0，且 a>b⇔.
2.对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记 a＝0时的情形.
3.当Δ<0 时，不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为 R还是∅，要注意区别.
5.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点
组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部 分
2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线 Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋
By2＋C)<0；位于直线 Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
3.线性规划的有关概念
名称 意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对 x，y的约
束条件
目标函数 关于 x，y的解析式
线性目标函数 关于 x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
[微点提醒]
2
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 (0，1)
或(1，0)来验证.
2.判定二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0的上方.
(2)若B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0的下方.
【考点剖析】
考点一：不等式的性质
角度 1　比较大小及不等式性质的简单应用
【例 1－1】 (1)已知实数 a，b，c满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c的大小关系是(
)
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)(一题多解)若 ＜0，给出下列不等式：① ；②|a|＋b＞0；③ a－ ＞b－ ；④ ln a2＞
ln b2.其中正确的不等式是(　　)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A　(2)C
【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝ ＋ >0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)法一　因为 ＜0，故可取 a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.
综上所述，可排除 A，B，D.
3
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