第3章 函数的概念与性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期中复习讲义（机构专用）

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函数的概念与性质
一、知识点思维导图
二、重难点题型串讲
1、关于函数的概念
1．两个函数相等的条件
2．函数的常用表示方法
1
3．映射
4．函数的定义域
函数的定义域是自变量 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际
意义的制约．其题型主要有以下几种类型：
（1）已知 得函数表达式，求定义域；
（2）已知 的定义域，求 的定义域，其实质是由 的取值范围，求出
的取值范围；
（3）已知 的定义域，求 的定义域，其实质是由 的取值范围，求 的
取值范围．
5、函数的值域
由函数的定义知，自变量 在对应法则 下取值的集合叫做函数的值域．
函数值域的求法：
（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；
（2）形如 的函数，可用换元法．即设 ，转化成二次
函数再求值域（注意 ）；
（3）形如 的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求
值域，这种函数的值域为 ；
（4）形如 （ 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别
式求值域．
6．函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它
们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
2
求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函
数 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表
达式，则常用解方程组、消参的方法求出 ．
2、函数的单调性
（1）如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量 x1，x2，当 x1＜x2时，都有
，那么就说函数 在区间 D上是增函数．
（2）如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量 x1，x2，当 x1＜x2时，都有
，那么就说函数 在区间 D上是减函数．
（3）若函数 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调
增（或减）区间．若函数 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单
调增（或减）函数．
与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区
间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调
性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．
3、函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定
义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇
函数也不是偶函数．
（2）若奇函数 的定义域内有零，则由奇函数定义知 ，即
，所以 ．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 ；
反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函
数．
3
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