第3讲 命题，充分条件与必要条件（解析版）

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第3讲 命题，充分条件与必要条件
【基础知识】
1.有关命题的概念
一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
2.充要条件的判定
充分条件与必要条件：
一般地，用 、 分别表示两个命题，如果
成立，可以推出
也成立，即
，那么
叫做
的
充分条件。
叫做
的必要条件。例如 是 充分非必要条件， 是 的必要非充分条件。
充要条件：
如果既有
，又有
，即有 ，那么
既是
的充分条件又是
的必要条件，这时我们
就说
是
的充要条件。例如 或 是 充分必要条件。
【考点剖析】
考点一：有关命题的概念
例1．（2020·上海高一课时练习）下列语句是否为命题？如果是，判断它的真假．
（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3） ；（4） ；
（5）91 不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．
【答案】（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）
是真命题．
【分析】根据命题的定义进行判断，再对命题进行真假判断即可.
【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；
（2）这句话表示 0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；
1
（3）因为 是正确的，所以 是命题，而且是真命题；
（4）不能判断 是否正确，所以 不是命题；
（5）因为 ，所以可以判断“91 不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；
（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.
所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真
命题．
【点睛】本题考查了命题的判断，考查了命题真假的判断，属于基础题.
考点二：充要条件的判定
例1．证明： 是关于 的一元二次方程 有两个不同的实数根的充分非必要条
件。
【难度】★★
【答案】充分性：若 ，则方程的 ，方程有两个不同的实数根。
非必要性：当方程有两个不同的实数根，则 ，而不仅仅是 。
说明：证明非必要性，只需证明 不成立即可。
例2．指出下列各组命题中， 是 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、
“既不充分也不必要”中选一种作答）
2
（1）对于实数 ， ， 或
（2）已知 ， ，
【难度】★★
【答案】（1） 是 的充分不必要条件．（2） 是 的充分非必要条件．
考点三：充分条件、必要条件、充要条件的应用
例1．判断 是 的什么条件
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【难度】★
【答案】（1） 是 的必要非充分条件； （2） 是 的充要条件；
（3） 是 的非充分非必要条件； （4） 是 的充要条件；
例2．求有关 的方程 （1）有一个根大于 1，有一个根
小于 1的充要条件.（2）“有两个小于 3的根”的充要条件。
【难度】★★
【答案】（1）设方程两个根分别为 ，不妨设 ，则问题等价于：
。
（2）设方程两个根分别为 ，不妨设 ，则问题等价于：
例 3．已知关于 x的实系数二次方程 x2+ax+b=0 有两个实数根 α、β，证明：|α|<2 且|β|<2
是2|a|<4+b且|b|<4 的充要条件
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【难度】★★
【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
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设f(x)=x2+ax+b，则 f(x)的图象是开口向上的抛物线
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又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
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即有 4+b>2a>－(4+b)
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