第1讲 集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系（教师版）

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第 1 讲 集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系
【基础知识】
一、集合的意义
1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
奎屯
王新敞
新疆
2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
奎屯
王新敞
新疆
3.属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A
4.不属于：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作
5.有限集：含有有限个元素的集合。
6.无限集：含有无限个元素的集合。
7.集合相等：一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的
任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，记作 A=B。
8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集
9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作 。
二、集合的表示方法
1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区
间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．
闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示
1
半开半闭区间在数轴上表示
这里的实数 a,b 统称为这些区间的端点．
三、集合之间的关系
1、子集：
定义：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合
B，或集合 B 包含集合 A，此时我们称 A 是 B 的子集。 即：
记作： ；读作：A 包含于 B 或 B 包含 A；
注意: 有两种可能：（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合
2、真子集：
【考点剖析】
考点一：集合的意义
例 1．下列所给对象不能构成集合的是________．
(1)高一数学课本中所有的难题；
(2)某一班级 16 岁以下的学生；
(3)某中学的大个子；
(4)某学校身高超过 1．80 米的学生；
(5)1，2，3，1．
【难度】★
【答案】(1)(3)(5)
例 2.已知
x
、
y
、
z
为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是
M
，则下列判断正确的是(　　)
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】D
例 3.用“ ”或“ ”填空
(1)－3______N； (2)3．14______Q； (3)______Z；
(4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N．
【难度】★
2
【答案】(1) 　(2) 　(3) 　(4) 　(5) 　(6)
例 4.已知集合 ，且 中只有一个元素，求 的值．
【难度】★★
【答案】
例 5.已知 ，求实数 的值．
【难度】★
【答案】
例 6.已知集合
S
的三个元素
a
．、
b
、
c
是△
ABC
的三边长，那么△
ABC
一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形　
【难度】★
【答案】D
例 7.设
A
为实数集，且满足条件：若
a
．∈
A
，则 ∈
A
(
a
．≠1)．
求证：(1)若 2∈
A
，则
A
中必还有另外两个元素；
(2)集合
A
不可能是单元素集．
证明．
【难度】★★
【答案】(1)若
a
．∈
A
，则 ∈
A，
又∵2∈
A
，∴＝－1∈
A
．
∵－1∈
A
，∴＝∈
A，
∵∈
A
，∴＝2∈
A，
∴
A
中另外两个元素为－1，．
(2)若
A
为单元素集，则
a
＝，即
a
．2－
a
．＋1＝0，方程无解．
∴
a
．≠ ，∴
A
不可能为单元素集
例 8.设
P
、
Q
为两个非空实数集合，
P
中含有 0，2，5 三个元素，
Q
中含有 1，2，6 三个元素，定义
集合
P
＋
Q
中的元素是
a
＋
b
，其中
a
∈
P
，
b
∈
Q
，则
P
＋
Q
中元素的个数是多少？
【难度】★★
【答案】8
考点二：集合的表示方法
例 1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：
（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合
（2）大于 10 而小于 20 的合数组成的集合
【难度】★
【答案】（1） ；（2）
例 2.用描述法表示下列集合：
（1）被5除余 1 的正整数所构成的集合
（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合
3
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