第01讲 等差数列-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（学生版）

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第01 讲 等差数列及前 n项和
【学习目标】
1．了解等差数列的概念及特征；
2. 掌握等差数列通项公式推导方法；
3. 学会用逆向求和的方法推导等差数列的和通项公式；
4.能灵活运用等差数列的通项公式与和通项公式求解一般数列。
【基础知识】
1． 等差数列的定义
如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列，
这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2． 等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an＝ a 1＋ ( n － 1) d .
3． 等差中项
如果 A＝ ，那么 A叫作 a与b的等差中项．
4． 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋( n － m ) d ，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则 ak＋ a l＝ a m＋ a n.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2 d .
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为 md
的等差数列．
5． 等差数列的前 n项和公式
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n项和 Sn＝ 或 Sn＝na1＋d.
6． 等差数列的前 n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
7． 等差数列的前 n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最__大__值；若 a1<0，d>0，则 Sn存在最__小__值．
难点正本　疑点清源
1．等差数列的判断方法
(1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.
1
2．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd.
(2)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(3)S2n－1＝(2n－1)an.
(4)若n为偶数，则 S偶－S奇＝d.
若n为奇数，则 S奇－S偶＝a中(中间项)．
3．等差数列与函数
在d≠0 时，an是关于 n的一次函数，一次项系数为 d；Sn是关于 n的二次函数，二次项系数为，且常数
项为 0.
【考点剖析】
考点一等差数列基本量的运算
1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　　 B．－10
C．10 D．12
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，得 3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即 3a1＋2d＝0.将
a1＝2代入上式，解得 d＝－3，故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为 d，
则由 得
即 解得 d＝4.
3．(2021·西安质检)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则 S20＝(　　)
A．420 B．340
C．－420 D．－340
【答案】D
【解析】设数列{an}的公差为 d，则 a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由 a3·a5＝12，得 d＝±2，由 a1＞0，a2
＝0，可知 d＜0，所以 d＝－2，所以 a1＝2，故 S20＝20×2＋×(－2)＝－340.
2
4．(2021·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且 a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前 n项和，则(　　)
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
【答案】B
【解析】设{an}的公差为 d，由 a2＝－6，a6＝6，得 解得 于是，S1＝－9，S3＝3×(－
9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以 S4＝S3，S4＜S1，故选 B.
考点二：等差数列的判定与证明
例 1．若数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝
1
2
.
(1)求证：
1
n
S
 
 
 
成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：当 n≥2 时，由 an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
因为 Sn≠0，所以
1
n
S
－
1
1
n
S
＝2，
又
＝
1
1
a
＝2，
故
1
n
S
 
 
 
是首项为 2，公差为 2的等差数列．
(2)由(1)可得
1
n
S
＝2n，所以 Sn＝
1
2n
.
当n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝
1
2n
－
1
2( 1)n
＝
1 1
2 ( 1) 2 ( 1)
n n
n n n n
   
 
当n＝1时，a1＝
1
2
不适合上式．故an＝
1, 1,
2
1, 2
2 ( 1)
n
n
n n
 
【变式发散】
1．(变设问)本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．
【解析】因为 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，
3
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