大题专项训练17：立体几何（探索性问题）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 17—立体几何（探索性问题）
1．如图 1， ， 是以 为直径的圆上两点，且 ， ，将 所在
的半圆沿直径 折起，使得点 在平面 上的射影 在 上，如图 2．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
解：（1）证明： 是圆的直径，
．
平面 ， 平面 ，
．
又 ， ， 平面 ，
平面 ．
平面 ，
．
又 ， ，
1
平面 ．
（2）解：连接 ， 平面 ， ， 平面 ，
， ．
在 和 中，由 得 ，
在 中，由 ，得 ，
，
在 中， ，
是 的三等分点，且 ．
在线段 上存在点 ，使得 ，则有 ．
平面 ， 平面 ，
平面 ．
故在线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时 ．
2．如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为 的正方形， ，
， ．
（1）证明：平面 平面 ；
2
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 ，若存在，求 的值；若不存在，
请说明理由．
解：（1）证明：在 中， ， ， ，
有 ，可得 ，
又 ， ，可得 平面 ，
即有 ，
由四边形 是边长为 的正方形，可得 ，
而 ，可得 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ；
（2）在线段 上存在点 ，使得 ，且 ．
理由如下：由（1）可得，以 为原点，
， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
3
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