大题专项训练16：立体几何（二面角）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 16—立体几何（二面角）
1．如图，在四棱柱 中，底面 是以 ， 为底边的等腰梯形，且
， ， ．
（1）证明： ．
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
（1）证明：在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
则 ，即 ，
又 ， ，故 平面 ．
而 平面 ， ．
（2）解：取 的中点 ， ， ．
由（1）可知平面 平面 ，故 平面 ．
由 是等腰梯形，且 ， ，得 ，
1
则 ， ．
以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 的正方向建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ，1， ， ， ，0， ，
， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，有 ．
又 是平面 的一个法向量．
，
二面角 的正弦值为 ．
2
2．如图，已知三棱锥 中， 是边长为 2的等边三角形， ，点
为 的中点， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
（1）证明：因为 ，点 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 是等边三角形，所以 ，
所以 ，所以 ， ．
又 ，得 ，又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点， 为 轴，在平面 内过点 垂直于 的直线为 轴，
为 轴，建立空间直角坐标系．
则 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ，0， ，
所以 ， ，0， ， ， ，
设 ， ， 为平面 的法向量，
3
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