大题专项训练15：立体几何（线线角、线面角）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 15—立体几何（线线角、线面角）
1．已知四棱锥 中，四边形 是菱形，且 ， 为等边三角
形，平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若点 是线段 上靠近 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
证明：（Ⅰ）取 的中点 ，连接 、 和 ，
因为 为等边三角形，所以 ；
又四边形 是菱形，且 ，
所以 为等边三角形，所以 ；
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
（Ⅱ）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，所以 平面 ；
又 ，所以 、 、 两两垂直；
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系
1
，如图所示；
不妨设 ，则 ， ， ， ，0， ， ，0， ；
所以 ， ， ， ， ， ；
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，1， ，
又 ， ， ，所以 ， ， ，
又 ， ， ，所以 ， ， ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ．
2．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，且
，沿 将四边形 折成四边形 ，使点 在平面 上的射影 在
直线 上．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
2
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值．
解：（1）证明：矩形 中， ，点 在平面 上的射影为 ，
则 平面 ，且 平面 ， ，
又 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ；
（2）证明： ， 平面 ， 平面 ．
平面 ，
由 ，同理可得 平面 ，
又 ． 平面 平面 ， 平面 ；
（3）如图所示，
过 作 ，过 作 平面 ，
分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
在平面 上的射影 在直线 上，
设 ， ， ， ；
，3， ，且 ， ；
3
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