大题专项训练13：立体几何（证明平行、垂直）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 13—立体几何（证明平行、垂直）
1．如图，四面体 中， ， ， 平面 ． 为 中点，
为 中点，点 在线段 上，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， 是 的中点，求证： 平面 ．
证明：（1）如图，取 的中点为 ，在 上取一点 ，使得 ，连结 ，
， ，
则由 ， 分别为 ， 的中点，
可得 ，且 ，
又 为 的中点，则 ，
因为 ， ，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，故四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
1
（2）设 为 的中点，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为点 为 的中点， ，所以点 为 的中点，
因为 是 的中点，所以 ，因为 ，
所以 是等腰直角三角形， ，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．
2．如图，直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，
， ， 为 的中点， 在线段 上．
（1） 为何值时， 平面 ？
（2）设 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
2
解：（1）因为直三棱柱 中，
面 ， ．
以 点为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为 ， ，所以 ，
从 而 ， 0， ， ， ， ， 0， ， ，
， ，
所以 ，
设 ， 则 ， 0， ，
，所以 ．
要使 平面 ，只需 ．
3
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