大题专项训练12：数列（证明不等式）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 12—数列（证明不等式）
1．已知数列 的各项均为正数，记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为
，且 ， ．
（Ⅰ）求 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）若有 ，求证： ．
解：（Ⅰ）由题意，当 时， ，即 ，
化简整理，得 ，解得 （舍去），或 ，
当 时，由 ，可得 ，
两式相减，可得 ，
化简整理，得 ，
将 代入 ，可得 ，
解得 ，
当 时，由 ，可得 ，
两式相减，可得 ，
1
化简整理，得 ，
也满足上式，
数列 是以 1为首项，2为公比的等比数列，
， ；
（Ⅱ）证明： ，
所以 ，
故 ．
2．已知正项数列 的前 项和为 ， ．
（1）计算 ， ， ，猜想数列 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明数列 的通项公式；
（3）证明不等式 对任意 恒成立．
解：（1）正项数列 的前 项和为 ， ，
当 时， ，解得 ，
2
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
于是可猜想 ；
证明：（2）①当 时，显然成立，
②假设当 时成立，即 ，
那么 时， ，
，
，
即 ，
，
当 时也成立，
由①②可得 ；
证明：（3） ， ，
，
问题得以证明．
3
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