大题专项训练10：数列（讨论奇偶）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 10—数列（讨论奇偶）
1．数列 中， ， ，前 项和 满足 ．
（1）证明： 为等差数列；
（2）求 ．
解：（1）证明： ①
，②
① ②： ， ③
④
④ ③： ，
，
是以 首项，2为公差的等差数列，
（2）解：由（1）得 是以 首项，2为公差的等差数列，
同理可得 是以 为首项，2为公差的等差数列，
又 ，
1
前101 项的偶数项和为 ，
前101 项的奇数项和为 ，
．
2．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，记数列 的前 项
和为 ，求 ．
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，由 ，
可得 ，即 记为①．
又因为 ，
取 ，所以 ，即 记为②，
由①②可得 ， ．
故 的通项公式为 ．
（Ⅱ）由 ，
2
可得 且
上述两式作差可得 ，
由 可知 ．
所以 ．
当 为偶数时 ，
．
当 为奇数时，
．
故 ．
3．已知数列 满足： ，且 ．
（1）求 、 的值，并证明数列 为等差数列；
（2）令 ，求 ．
解：（1）证明：依题意，由递推公式，
可得当 时， ，
3
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