大题专项训练9：数列（裂项相消）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 9—数列（裂项相消）
1．在公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
解：（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，则
， ，
， ， 成等比数列，
，即 ，
化简整理，得 ，
解得 （舍去），或 ，
， ，
（2）由（1），可得
，
1
．
2．设 为等差数列 的前 项和， 是各项均为正数的等比数列，且 是 ， 的
等差中项，若 ， ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．
因为 是 ， 的等差中项，
所以 ，化简得， ， ，
因为 各项均为正数，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
因为 ， ，解得 ，
2
所以 ．
（Ⅱ）因为 的前 项和为 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ．
3．设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，且 ， ， ，求证： 的前
项和 ．
解：（1）设等差数列 的公差为 ， ， ， ，
，
解得 ， ．
3
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