大题专练训练50：随机变量的分布列（独立性检验）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 50—随机变量的分布列（独立性检验）

1．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上

常用身体质量指数（英文为 BodyMassIndex，简称 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否

健康，其计算公式是 BMI＝，中国成人的 BMI 数值标准为：BMI

＜18.5 为偏瘦；18.5≤BMI＜23.9 为正常；24≤BMI＜27.9 为偏胖；BMI≥28 为肥胖．某

地区随机调查了 100 名35 岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算 BMI 数

值．

（1）根据调查结果制作下面的 2×2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为 35 岁以上成

人肥胖与不经常运动有关？

肥胖不肥胖总计

经常运动员工 40 60

不经常运动员工 24 40

总计 100

参考公式：，其中 n＝a+b+c+d．

参考数据：

P（K2≥k）0.25 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001

k1.323 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

（2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的 3人，

不经常运动人群中的 1人座谈，记这 4人中肥胖人数为 X，求 X的分布列和数学期望．

解：（1）填表如下：

肥胖不肥胖总计

经常运动员工 20 40 60

不经常运动员工 24 16 40

总计 44 56 100

所以 K2＝ ≈6.926，

因为 6.926＞6.635，所以有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关．

（2）“经常运动且肥胖”的概率为＝，“经常运动且不肥胖”的概率为＝，

“不经常运动且肥胖”的概率为＝，“不经常运动且不肥胖”的概率为＝，

X的所有可能取值为 0，1，2，3，4，

P（X＝0）＝（）3×＝，

P（X＝1）＝ × ×（）2× + （）3×＝，

P（X＝2）＝ ×（）2××+ ××（）2×＝，

P（X＝3）＝（）3× + ×（）2××＝，

P（X＝4）＝（）3×＝，

所以随机变量 X的分布列为

X0 1 2 3 4

则数学期望为 E（X）＝0× +1× +2× +3× +4× ＝．

2．随着人们生活水平的提高和对健康生活的重视，越来越多的人加入到了健身运动中．某

健身房从参与健身的会员中随机抽取了 100 人，对其每周参与健身的天数和 2020 年在

该健身房的消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表和统计图：

平均每周健身天数不大于 2 3 或4不小于 5

男性会员人数 20 35 10

女性会员人数 10 20 5

若某人平均每周健身天数不小于 5，则称其为“健身达人”．该健身房规定年消费金额

不超过 1600 元的为普通会员，超过 1600 元但不超过 3200 元的为银牌会员，超过 3200

元的为金牌会员．

（1）已知金牌会员都是“健身达人”，现从这 100 位会员里的“健身达人”中随机抽

取2人，求他们都是金牌会员的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表：

男性会员女性会员

是“健身达人”

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