大题专练训练48：随机变量的分布列（决策类）-2021届高三数学二轮复习

3.0 envi 2025-04-15 4 4 213KB 15 页 3知币

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二轮大题专练 48—随机变量的分布列（决策类）

1．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的

概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正

在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两

备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作

计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．

（1）要使系统的可靠度不低于 0.992，求

的最小值；

（2）当

0.9r

时，求能正常工作的设备数

的分布列；

（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是 0.7，根据以往经验可

知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约 50 万的经济损失．为减少对该产业园带来的经

济损失，有以下两种方案：

方案 1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在 0.9，更新设备硬件总费用为

8万元；

方案 2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，设备维护总费用为 5万元．

请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？

解：（1）要使系统的可靠度不低于 0.992，

则

( 1) 1 ( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 0.992P X P X P X r        厖

，

解得

0.8r�

，故

的最小值为 0.8．

（2）

正常工作的设备数，由题意可知，

~ (3, )X B r

，

0 0 3

( 0) 0.9 (1 0.9) 0.001P X C     

，

1 1 2

( 1) 0.9 (1 0.9) 0.027P X C     

，

2 2 1

( 2) 0.9 (1 0.9) 0.243P X C     

，

3 3 0

( 3) 0.9 (1 0.9) 0.729P X C     

，

从而

的分布列为

0 1 2 3

0.001 0.027 0.243 0.729

（3）设方案 1、方案 2的总损失分别为

，

采用方案 1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到 0.9，由（2）可知计算机网络断

掉的概率为 0.001，不断掉的概率为 0.999，

因为

( ) 80000 0.001 500000 80500E X    

元．

采用方案 2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，由（1）可知计算机网

络断掉的概率为 0.008，

( ) 50000 0.008 500000 54000E X    

元，

因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案 2．

2．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实

体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平．

一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时要进行调查统计．某一小型工厂自己没

有管理软件的高级技术员，欲购买软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管

理软件服务公司提供了如下两种方案：

方案一：管理软件服务公司每月收取工厂 4800 元，每次提供软件服务时，再另外收取

200 元．

方案二：管理软件服务公司每月收取工厂 7600 元，若每月提供的软件服务不超过 15 次，

不另外收费；若超过 15 次，超过部分的软件服务每次的收费标准为 500 元．

（1）设该管理软件服务公司月收费为 y元，每月提供软件服务的次数为 x，试写出两种

方案中 y与x的函数关系式．

（2）该工厂对该管理软件服务公司近 20 个月每个月为另一个工厂提供软件服务的次数

进行了调查统计，得到如图所示的条形图．该工厂要调查服务质量，服务次数为 13 次

和16 次的月份中任选3个月，求这 3个月中恰好有1个月的服务次数为 13 次，2个月的

服务次数为 16 次的概率．

（3）依据条形图中统计的数据，从节约服务成本的角度考虑，以一个月管理服务费的

平均值为决策依据，从两种方案中选择一种，该工厂选择哪种方案更合适？请说明理由．

解：（1）由题意知方案一中管理软件服务公司的月收费 y与x的函数关系式为：

y＝200x+4800，x∈N．

方案二中管理软件服务公司的月收费 y与x的函数关系为：

y＝

（2）记选择的 3个月中，恰好有1个月的服务次数为 13 次，2个月的服务次数为 16 次

为事件A，

由题中条形图得服务次数为 13 次的 2个月份，分别记为A，B，

服务次数分别为 16 次的 4个月份记为a，b，c，d，

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