大题专练训练47：随机变量的分布列（比赛类）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 47—随机变量的分布列（比赛类）

1．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题

回答正确得 10 分，回答错误得 0分；第二个问题回答正确得 20 分，回答错误得﹣10 分；

第三个问题回答正确得 30 分，回答错误得﹣20 分．规定，每位参赛者回答这三个问题

的总得分不低于 30 分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，

回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分 ξ的分布列和期望；

（3）求这位参赛者闯关成功的概率．

解：（1）设事件 Ai这位参赛者回答对第 i个问题（i＝1，2，3），

∴ ＝．

（2）ξ＝﹣30，﹣20，0，10，20，30，50，60，

，

∴ξ的分布列为：

ξ﹣30 ﹣20 0 10 20 30 50 60

E（ξ）＝ +10× +20× +30× +50× +60× ＝．

（3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为．

2．甲、乙两位选手在某次比赛的冠、亚军决赛中相遇，赛制为三局两胜（当一方赢得两局

胜利时，该方获胜，比赛结束），比赛每局均分出胜负．甲、乙以往进行过多次比赛，若

从中随机抽取 20 局比赛结果作为样本，抽取的 20 局中甲胜 12 局、乙胜 8局，若将样本频

率视为概率，各局比赛结果相互独立．

（1）求甲获得冠军的概率；

（2）此次决赛设总奖金 50 万元，若决赛结果为，则冠军奖金为 35 万元，亚军奖金为

15 万元；若决赛结果为，则冠军奖金为 30 万元，亚军奖金为 20 万元．求甲参加此次

决赛获得奖金数的分布列和数学期望．

解：（1）用样本频率估计概率可知，每局比赛甲获胜的概率为．

每局比赛乙获胜的概率为，

甲获得冠军的概率．

（2）由题意知，的所有可能的取值为 35，30，20，15，

，

的分布列为：

35 30 20 15

（万元）．

3．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、

乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得 3分；如果只有一个

人投中，则“虎队”得 1分；如果两人都没投中，则“虎队”得 0分．已知甲每轮投中的

概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互

不影响．

（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中 3个的概率；

（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；

②设“虎队” 轮得分之和为，求的期望值．

（参考公式

解：（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中 3个记作事件

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