大题专练训练46：随机变量的分布列（摸球类）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 46—随机变量的分布列（摸球类）
1．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的 8个小球，其中白色球与黄色球各 3个，红
色球与绿色球各 1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记 1分、黄球每个
记2分、红球每个记 3分、绿球每个记 4分，以得分高获胜．比赛规则如下：①只能一个
人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出 1球；若摸出的是绿色球，则再从
袋子里摸出 2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出 3个球，他的得分为两次摸
出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分 的分布列和数学期望 ．
解：（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件 ，
因为球的总分为 16，即事件 指的是甲的得分大于等于 8，
则 ，
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，
则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10 分、11 分，
，
，
，
，
1
，
，
所以 的分布列为：
6 7 8 9 10 11
所以 的数学期望 ．
2．某不透明纸箱中共有 4个小球，其中 1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同．
（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出 2个红球的概率；
（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取 4次，记取到红球的次
数为 ，求 的分布列；
（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取 20 次，取得几次红球
的概率最大？（只需写出结论）．
解：（1）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出 2个红球”为事件 ，
则从 4个球中摸出 2个，有 种取法，都是红球的取法有 种，
则 （A） ．
（2） 可能取 0，1，2，3，4，
，
2
，
，
，
．
所以 的分布列为
01234
（3）根据题意，纸箱中共有 4个小球，其中 1个白球，3个红球，每次从纸箱中摸出一个
小球，取出红球的概率为 ，
若连续摸取 20 次，摸到红球次数的期望为 ，
则摸到 15 次红球的概率最大．
3．袋中有 10 个大小、材质都相同的小球，其中红球 3个，白球 7个．每次从袋中随机摸
出1个球，摸出的球不再放回．求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（Ⅲ）第二次摸到红球的概率．
解：根据题意，设事件 ：第一次摸到红球；事件 ：第二次摸到红球，
则事件 ：第一次摸到白球．
3
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