大题专练训练45：随机变量的分布列（二项分布2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 45—随机变量的分布列（二项分布 2）

1．2019 年9月1日央视《开学第一课》播出后，社会各界反响强烈，全国人民爱国主义热

情空前高涨，在新中国成立 70 周年前夕，上演了一次小高潮．某兴趣小组为了了解某

校学生对《开学第一课》的喜欢程度，从该校随机抽取了 100 名学生对该节目进行打分，

并把相关的统计结果记录如表：

喜欢程

度

不喜欢喜欢非常喜欢

分数段 [50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]

频数 1 9 18 32 40

以喜欢程度位于各区间的频率代替喜欢程度位于该区间的概率．

（1）试估计这 100 名学生对节目打分的中位数和平均数；

（2）为了感谢学生对该次调查统计的支持，兴趣小组决定从全校随机抽取 3名学生进

行奖励，X表示所抽取的学生中来自“非常喜欢”的人数，求 X的分布列和数学期望．

解：（1）∵0.01+0.09+0.18＜0.5，0.01+0.09+0.18+0.32＞0.5，

∴中位数 x∈[80，90），

由0.01+0.09+0.18+（x﹣80）×＝0.5，解得 x＝86.875，

故中位数为 86.875；

由55× +65× ＝85.1，

得平均数为 85.1；

（2）从该校随机抽取 1名学生，该学生对节目喜欢程度为“非常喜欢”的概率为．

X的可能取值为 0，1，2，3，

则P（X＝0）＝，

P（X＝1）＝，

P（X＝2）＝，

P（X＝3）＝．

X的分布列为：

X 0 1 2 3

∴E（X）＝0× ＝．

2．2020 年初，新冠肺炎袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北外疫情最严重的

省份之一，截止 2月29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）．

（1）为了了解新冠肺炎的相关特征，研究人员统计了他们的年龄数据，可以大致认为，

该省新冠肺炎患者的年龄 Z服从正态分布 N（54.8，15.22），请估计该省新冠肺炎患者

年龄在 70 岁以上的患者比例；

（2）截至 2月29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占

10%，以这些密切接触者确诊的频率代替 1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接

触者是否确诊相互独立，现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：

将这 20 名密切接触者随机地按 n（n可以取 2，4，5，10）个人一组平均分组，并将同

组n个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n个人抽

取的另一半血液逐一化验，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验

总次数最少的 n的值．

参考数据：若 Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜

μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9973.0.94≈0.66，0.95≈0.59，0.910≈0.35．

解：（1）P（54.8﹣15.2＜X＜54.8+15.2）＝P（39.6＜X＜70）＝0.6826．

P（Z≥70）＝＝＝0.1587＝15.87%．

所以该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（≥70）的患者比例为 15.87%．

（2）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为，

n的可能取值为 2，4，5，10．且Xn～B（n，）

对于某组 n个人，化验次数 Y的可能取值为 1，n+1．

P（Y＝1）＝，P（Y＝n+1）＝1﹣

所以 E（Y）＝1•+（n+1）[1﹣]＝n+1﹣n，

则20 人的化验总次数为 f（n）＝ [n+1﹣n]＝20[1+ ﹣]，

经计算f（2）＝13.8，f（4）≈11.8，f（5）≈12.2，f（10）≈15．

所以，当n＝4时符合题意，即按4人一组检测，可是化验总次数最少．

3．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000 名学生的视力情况进行了

调查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：

前50 名后 50 名

近视42 32

不近视8 18

（1）求 a的值，并估计这 1000 名学生视力的中位数（精确到0.01）；

（2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前 50 名与后50 名的

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