大题专练训练41：导数（证明数列不等式2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 41—导数（证明数列不等式 2）
1．已知函数 ．
（1）求证： ；
（2）求证：对于任意正整数 ， ．
证明：（1） ，
当 时 ， 单调增，
当 时 ， 单调减，
所以 （1） 的最小值为 （1） ；
（2）由（1）知 ，
令 得 ，
所以
，
所以 ．
2．设函数 ，其中 ．
（1）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（2）求函数 的极值点；
（3）证明对任意的正整数 ，不等式 都成立．
解：（1） 的定义域为 ，
，
令 ，
则 在 上递减， ， 上递增；
1
；
从而 在 上恒成立，
；
即当 时， 在 上单调递增；
（2）①当 时，由（1）知函数没有极值点；
②当 时，解 得两个不同的解，
， ；
若 ，由于 ， ；
在 上有唯一的极小值点 ；
若 时， ， ；
在 取得极大值，在 取得极小值；
综上所述，当 时， 在 上有唯一的极小值点 ；
当 时， 有极大值点 ，极小值点 ；
当 时，函数没有极值点；
（3）证明：取 ，则 ，
令 ，
则 在 ， 上恒成立，
故 在 ， 上单调递增，
故当 时，恒有 ；
即恒有 ；
2
故对任意的正整数 ，不等式 都成立．
3．已知函数 ．
（1）若 对 都成立，求 的取值范围；
（2）已知 为自然对数的底数，证明： ， ．
（1）解： 对 都成立 ．
． ．
当 时， ， 函数 单调递增，
， 成立，因此 满足条件．
当 时， ， 函数 单调递减， ，不满足条件，舍去．
当 时， ，当 时，函数 单调递减，
，不满足条件，舍去．
综上可得：只有当 时满足条件．因此 的取值范围是 ， ．
（2）证明：由（1）可知：当 时， ， ．
取 ， ， ， ．
，
，
，
．
由（1）可知：当 时， ， ．
取 ， ， ， ．
3
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