大题专练训练40：导数（证明数列不等式1）-2021届高三数学二轮复习

3.0 envi 2025-04-15 5 4 1.3MB 7 页 3知币

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二轮大题专练 40—导数（证明数列不等式 1）

1．若函数在，上为增函数．

（Ⅰ）求正实数的取值范围．

（Ⅱ）若，求证：且

解：（Ⅰ）由已知：

依题意得：对，恒成立

对，恒成立

即：

（Ⅱ）

，

在，上为增函数，

时：

即：

设，，

则对，恒成立，

在为减函数，

时：（1）

即：

综上所证：且成立．

2．已知函数，为自然对数的底数）．

（1）求函数的单调区间；

（2）记函数的最小值为（a），求（a）取最大值时实数的值；

（3）在（2）的条件下，证明：（其中．

（1）解：由题意，，

由，得．

当时，；当时，．

的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）解：由（1）知，当时，取得极小值，也为最小值，

其最小值为（a）．

由（a），得．

（a）在区间上单调递增，在区间上单调递减，

（a）在处取得最大值，而（1）．

因此（a）取得最大值时，．

（3）证明：由（2）知，当时，对任意实数均有（1），即，

即．

令，，1，2，3，，，则，

，

．

3．已知函数，，．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求的值；

（Ⅲ）求证：对一切大于 2的正整数都成立．

解：，

当时，，时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，取得最小值（1）．

由恒成立可得恒成立，

设，则，故，，

函数在处的切线方程为，

恒成立．

．

由可知恒成立，当且仅当时取等号．

令，，2，3，，，则，即，

，

对一切大于 2的正整数都成立．

4．已知函数

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