大题专练训练39：导数（双变量与极值点偏移问题2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 39—导数（双变量与极值点偏移问题 2）
1．已知函数 ， 为 的导函数．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（3） 当 时 ， 求 证 ： 对 任 意 的 ， ， ， 且 ， 有
．
解：（1）当 时， ， ，可得 （1） ， （1）
，
所以曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）依题意， ，
从而可得 ，整理可得： ，
令 ，解得 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
的极小值为 （1） ，无极大值．
（3）证明：由 ，得 ．
对任意的 ， ， ，且 ，令 ，
则
1
①，
令 ， ， ，
当 时， ，
由此可得 在 ， 单调递增，
所以当 时， （1），即 ，
因为 ， ， ，
所 以
②，
由（1）、（2）可知，当 时， （1），即 ，
故③，
由①②③可得 ，
故当 时，任意的 ， ， ，且 ，有 ．
2．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若函数 有两个不同的零点 ， ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
解：（1）当 时， ， ， ，
（1） ，又 ，
2
曲线 在点 ， （1） 处的切线方程是 ；
（2）函数 有两个不同的零点 ， ，
等价于方程 有两个不同实根 ， ．
①令 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得最大值 ，
由于 （1） ，当 时， ；
当 ， ， 的大致图象如图所示．
当 ，即 时，
函数 有两个不同的零点 ， ，
故实数 的取值范围是 ；
②证明：不妨设 ， ， ，
两式相加得 ，
两式相减得 ，
．
要证 ，只需证 ，
3
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