大题专练训练37：导数（构造函数证明不等式2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 37—导数（构造函数证明不等式 2）
1．已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
（1）求函数 的最小值；
（2）求证： ．
解：（1）因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ；
（2）证明：要证 ，
只需证明： 对于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，
则 在 上为增函数，
又因为 ， （1） ，
所以存在 使得 ，
由 ，
得 即 即 即 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 ， 时， ， 单调递增，
1
所以 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ．
2．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
（1）解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，即 ，△ ，解得 或 ，
若 ，此时△ ， 在 恒成立，
所以 在 单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 上单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
2
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增．
综上所述：若 ， 在 单调递增；
若 ， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当 时，函数 在 上单调递增，
所以 （1） ，所以 在 上恒成立．
（3）证明：由（2）可知 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
下面证 ，即证 2 ，
设 ， ，
设 ， ，
易知 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，即当 时， ．
3．已知函数 ， 恰好有两个极值点 ， ．
（Ⅰ）求证：存在实数 ，使 ；
（Ⅱ）求证： ．
证明：（Ⅰ） ， ，
结合题意， ，即 存在 2个不同正根，
3
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