大题专练训练36：导数（构造函数证明不等式1）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 36—导数（构造函数证明不等式 1）
1．已知 a是常数，函数 f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）若 0＜a＜1，证明：f（ea）＞﹣1．
（1）解：函数 f（x）＝（x﹣alnx ）lnx﹣x的定义域为（0，+∞ ） ， 又
，
①当a≤0时，令 f'（x）＝0，解得 x＝1，当 0＜x＜1时，f'（x）＜0，当 x＞1时，
f'（x）＞0，故 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，令 f'（x）＝0，解得 x＝1或x＝2a，
（i）当 2a＜1，即 时，当 2a＜x＜1时，f'（x）＜0，当 0＜x＜2a或x＞1时，
f'（x）＞0，故 f（x）在（2a，1）上单调递减，在（0，2a），（1，+∞）上单调递增；
（ii ） 当 2a＝1， 即 时 ， f'（x） ≥ 0在 （ 0，+∞ ） 上 恒 成 立， 所 以 f（x） 在
（0，+∞）上单调递增；
（iii）当 2a＞1，即 时，当 1＜x＜2a时，f'（x）＜0，当 0＜x＜1或x＞2a时，
f'（x）＞0，故函数在（1，2a），上单调递减，在（0，1），（2a，+∞）上单调递增．
（2）证明：f（ea）＝a（ea﹣a2）﹣ea，要证 f（ea）＞﹣1，即证 a（ea﹣a2）﹣ea＞﹣
1，即证（a﹣1）ea＞a3﹣1，因为 0＜a＜1，也就是证明 ea＜a2+a+1，即证 ，
下面证明 成立，
令g（a）＝ （0＜a＜1），则 ，当 0＜a＜1时，g'（a）
＞0，故 g（a）在（0，1）上单调递增，所以 g（a）＞g（0）＝1，即 成立．
1
故f（ea）＞﹣1．
2．已知函数 为常数）．
（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
（2）讨论函数 函数的单调性；
（3）当 ， 时，求证： ．
解：（1） ， （1） ， （1） ，
曲线 在 处的切线方程为：
，
即： ，
由题意： ， ，
， ；
（2） ，
，
当 时， 在 上恒成立；
当 时，令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
（3）证明：令 ，
则 ，令 ，
则 ，令 得： 令 得： ，
在 上单调递减，在 上单调递增
， （1） （1） ， ，
，
存在 使 ，
且当 或 时， ，
2
当 ， 时， ，
在 上递增，在 ， 上递减，在上递增 ，
又 （1） ，所以有： ，即 ，
．
3．已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 且 时，求证： ．
解：（1）由题意，得 分
①若 ，令 ，得 ，令 ，得
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 分
②若 ，令 ，得 ，令 ，得
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 分
③若 ，令 ，为常量函数，不存在单调性 分
（2）证明：当 时， ，则证 ，即证 ，
不等式两端同时除以 ，即证 ，得 ， 分
记函数 ，则 ．
设 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以当 时， （1） 分
所以 ，
所以函数 在 上单调递增．
所以 （1） ，
即 成立，
3
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