大题专练训练35：导数（最值与极值问题）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 35—导数（最值与极值问题）
1．函数 ．
（1）讨论 在其定义域上的单调性；
（2）设 ， ， 分别为 的极大值和极小值，若 ，求 的取值范围．
解：（1）函数 定义域为 ，
，
当 时， ，所以 在 单调递减；
当 时， ，所以 在 单调递增；
当 时， 在 内有相异两根，
设 ， ， ，
令 所以 ，或 ；令 ， ；
在 上递增，在 ， 上递减，
在 ， 上递增．
（2）依题意可知， 在 内有相异两根，
所以△ ，又 ，可得 ，
此时设 的两根为 ， ，
， ，
， ，
由 ，且 ，得 ．
1
，
由 ，得 代入上式，
得 ，
令 ，所以 ， ，
则 ， ，
在 上为减函数，
从而 ，即 ，
．
2．已知函数 ．
（1）当 时，求 在点 ， 处的切线方程；
（2）若 有两个极值点．
①求 的取值范围；
②证明 的极小值小于 ．
解：（1）当 时， ．
， ．
又 ， 在点 ， 处的切线方程为 ．
（2）①的定义域为 ，
．
令 ，△ ， 的对称轴 ．
当△ 时，即 ， ，故 ，
在 上单调递增．此时 无极值．
2
当△ 时，即 ，
， ，
函数 在区间 有两个变号零点 ， ，
不妨设 ，其中 ， ．
当 时， ， ， 在 上单调递增；
当 时， ， ， 在 ， 上单调递减；
当 时， ， ， 在 ， 上单调递增．
当 有两个极值点时， 的取值范围为 ．
②由①可知，函数 有唯一的极小值点为 ，且 ．
又 ， ．
．．
令 ，
在 上恒成立，
在 单调递减．
，即 的极小值小于 ．
3．已知
（1）当 时，求函数的单调区间；
（2）当 时，讨论函数的单调增区间；
（3）是否存在负实数 ，使 ， ，函数有最小值 ？
解：（1）当 时， ， ，
由 ，解得 或 ；
3
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