大题专练训练34：导数（零点个数问题2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 34—导数（零点个数问题 2）
1．已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在区间 ， 上有两个零点，求 的取值范围．
解：（1） 的定义域为 ， ，
令 ，可得 或 ，下面分三种情况．
①当 时，可得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，1．
②当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
此时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
③当 时， ， 在区间 上单调递增．
（2）由（1）得，当 时， 在 处取得最小值 ，、
且 在区间 ， 内先减后增，
又 ，
，要使得 在区间 ， 上有两个零点，
必须有 且 ，由此可得 ，
当 时， ，显然 在区间 ， 上不存在两个零点．
当 时，由（1）得 在区间 ， 内先减后增，
又 ， ，
故此时 在区间 ， 上不存在两个零点．
当 时，由（1）得 在区间 ， 内先增，先减，后增．
1
又 （a） ， ，
故此时 在区间 ， 上不存在两个零点．
当 时，由（1）得 在区间 上单调递增，
在区间 ， 上不存在两个零点．
综上， 的取值范围是 ， ．
2．已知 是自然对数的底数，函数 ，其中 ．
（1）当 时，若 ，求 的单调区间；
（2）若 在 上恰有三个零点，求 的取值范围．
解：（1）当 时，
1
( ) 2 2
x
f x e x
 
令
( ) ( )g x f x
，则
1
( ) 2 2
x
g x e
 
，
当
1x
时，
( ) 0g x
，
( )g x
在
( ,1)
上单调递减；
当
1x
时
( ) 0g x
，
( )g x
在
(1, )
上单调递增．
( ) ( )f x g x g
�
（1）
．
( )f x
在
R
上单调递增．
（2）
2
(0) 0fe
 
，
( )f x
的零点
0x
，
令
1 2
( ) 2 0
x
f x e ax
 
，可得
1
2
2
x
e
ax
，
设
1
2
2
( ) ( 0)
x
e
h x x
x
 
，
1 2 1 1
4 3
2 2 2 2 ( 2)
( )
x x x
e x e x e x
h x x x
 
 
 
，
令
( ) 0h x
，得
2x
，且
(2) 2
e
h
，
当
( ,0)x 
时，
( ) 0h x
，
( )h x
单调递增且
( ) (0h x
，
)
；
当
(0, 2)x
时，
( ) 0h x
，
( )h x
单调递减且
( ) ( , )
2
e
h x  
；
当
(2, )x 
时，
( ) 0h x
，
( )h x
单调递增且
( ) ( , )
2
e
h x  
，
作图
( )h x
的大致图象，如图所示，
2
由图象可知，当
2
e
a
时，
y a
与
( )y h x
的图象有三个交点，即
( )f x
有三个不同的零点，
a
的取值范围是
( , )
2
e
．
3．已知函数
2
( ) 2( 1)
x
f x ae x x  
（其中
e
为自然对数的底数，
)a R
．
（1）当
2a
时，求
( )f x
的单调区间；
（2）若
( )f x
有两个极值点，求实数
a
的取值范围．
解：（1）当
2a
时，
2
( ) 2 2( 1)
x
f x e x x  
，
( ) 2( 1)
x
f x e x
 
，
令
( ) ( )g x f x
，
( ) 2( 1)
x
g x e
 
，令
( ) 0g x
，解得
0x
，令
( ) 0g x
，解得
0x
，
所以
( )g x
在
( ,0)
上单调递减，在
(0, )
上单调递增，
所以
( ) ( ) (0) 0f x g x g
 �
，所以
( )f x
的单调递增区间为
R
，无单调递减区间．
（2）若
( )f x
有两个极值点，即
( ) 2 2
x
f x ae x
 
有两个变号零点．
令
( ) ( ) 2 2
x
h x f x ae x
 
，
（ⅰ）当
0a
时，
( ) 2 2
x
h x ae x  
在
R
上单调递减，最多只有一个零点，不合题意；
（ⅱ）当
2a�
时，
( ) 2 2 2( 1) 0
x x
h x ae x e x  厖
，最多只有一个零点，不合题意．
（ⅲ）当
0 2a 
时，令
( ) 2 0
x
h x ae
 
，得
2
x ln a
；
当
2
( , )x ln a
 
，
( ) 0h x
，当
2
( , )x ln a
 
，
( ) 0h x
；
所以
( )h x
在
2
( , )ln a

单调递减，在
2
( , )ln a
单调递增，
则
2 2 2
( ) ( ) 2 2 2 2h x h ln ln ln
a a a
    �
，
3
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