大题专练训练33：导数（零点个数问题1）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 33—导数（零点个数问题 1）
1．设函数 ， ．
（1）讨论 在定义域上的单调性；
（2）当 时，判断 在 ， 上的零点个数．
解：（1）函数 的定义域为 ，
，
①当 时， ，则 在 上是减函数；
②当 时， ，
则当 时， ，
当 ， 时， ，
则 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
（2）①当 时， ，
令 解得， ，
故 在 ， 上有一个零点；
②当 时，
，
， ， ，
即 在 ， 上单调递减，
又 ，
，
1
故 在 ， 上没有零点．
20．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
解：（1）由 ，求导 ，
当 时， ，
当 ， 单调递减，
当 时， ，
令 ，解得： ，
当 ，解得： ，
当 ，解得： ，
时， 单调递减， ， 单调递增；
当 时， ，恒成立，
当 ， 单调递减，
综上可知：当 时， 在 单调减函数，
当 时， 在 是减函数，在 ， 是增函数；
（2）①若 时，由（1）可知： 最多有一个零点，
当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
当 ， ，且远远大于 和 ，
当 ， ，
函数有两个零点， 的最小值小于 0即可，
2
由 在 是减函数，在 ， 是增函数，
，
，即 ，
设 ，则 ， ，
求导 ，由 （1） ，
，解得： ，
的取值范围 ．
方法二：（1）由 ，求导 ，
当 时， ，
当 ， 单调递减，
当 时， ，
令 ，解得： ，
当 ，解得： ，
当 ，解得： ，
时， 单调递减， 单调递增；
当 时， ，恒成立，
当 ， 单调递减，
综上可知：当 时， 在 单调减函数，
当 时， 在 是减函数，在 是增函数；
（2）①若 时，由（1）可知： 最多有一个零点，
②当 时 ， 由 （ 1） 可 知 ： 当 时 ， 取 得 最 小 值 ，
，
当 ，时， ，故 只有一个零点，
3
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