大题专练训练30：圆锥曲线（探索性问题2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 30—圆锥曲线（探索性问题 2）

1．已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于、两点，

．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点是椭圆上的动点，且直线，与直线分别交于、两点，

是否存在点，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存

在，说明理由．

解：（Ⅰ）由题意可得，，即，

又，解得，，

即有椭圆的方程为；

（Ⅱ）设，可得，

即有，

由题意可得，，设，，

由，，共线可得，，即为，

可得，

由，，共线可得，，即为，

可得．

假设存在点，使得以为直径的圆经过点．

可得，即有，即．

即有，

化为，

解得或 8，

由，，不重合，以及，可得不存在．

2．已知椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，为坐

标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，，是椭圆上的三个点，判断四边形能否为矩形？并说明理由．

解：（1）椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，

由题意，得，，

椭圆的方程为．

（2）设直线，，，，，的中点，，，

，

直线代入抛物线方程可得，

△ ，

，．①由条件，得，

即，

整理得，

将（1）式代入得，②

又，，

且同时也是的中点，，，

在椭圆上，，

即，代入整理可得，③

由②③解得，，

验证知△ ，

四边形可以为矩形．

3．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．

（Ⅰ）若，，求；

（Ⅱ）曲线在点，处的切线相交于点，，分别交轴于点，两点．

是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）若，则，

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