大题专练训练29：圆锥曲线（探索性问题1）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 29—圆锥曲线（探索性问题 1）
1．已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个
交点 ， ，线段 的中点为 ．
（1）若 ，点 在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；
（2）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（3）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若
能，求此时直线 斜率；若不能，说明理由．
解：（1） ，椭圆 ，两个焦点 ，
设 ， ， ，
，
，
的范围是 ， （4分）
（2）设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，则 两式相减，得
， ， 即 ， 故
；（8分）
（3） 直线 过点 ，
1
直线 不过原点且与椭圆 有两个交点的充要条件是 且 ．
设 ， ，设直线 ，即 ，
由（2）的结论可知 ，代入椭圆方程得， ，（10 分）
由 与 ，联立得 ．（12 分）
若四边形 为平行四边形，那么 也是 的中点，所以 ，
即 ，整理得 解得， ．
所以当 时，四边形 为平行四边形．（16 分）
2．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦距为 4，且过点
．
（1）求椭圆 的方程
（2）设椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆交于 、 两点，问是否存在
直线 ，使得 为 的垂心，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．
解：（1）由已知可得，
解得 ， ，
2
所以椭圆 的方程为 ．
（2）
由已知可得， ， ， ，
， 可设直线 的方程为 ，代入椭圆方程整理，得
．
设 ， ， ， ，则 ， ，
， ，
即 ．
， ， ，
即 ．
， 或 ．
由△ ，得 ．
3
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