大题专练训练28：圆锥曲线（切线问题）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 28—圆锥曲线（切线问题）
2．如图，以原点 为顶点，以 轴为对称轴的抛物线 的焦点为 ，点 是直线
上任意一点，过点 引抛物线 的两条切线分别交 轴于点 ， ，切点
分别为 ， ．
求抛物线 的方程；
（Ⅱ）求证：点 ， 在以 为直径的圆上；
（Ⅲ）当点 在直线 上移动时，直线 恒过焦点 ，求 的值．
【解答】解： 设抛物线 的方程为 ，
依题意 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（Ⅱ）设点 ， ， ， ． ，否则切线不过点
， 切线 的斜率 ，
方程为 ，其中 ．
令 ，得 ，点 的坐标为 ，
1
直线 的斜率 ，
，
，即点 在以 为直径的圆上；
同理可证点 在以 为直径的圆上，
所以 ， 在以 为直径的圆上．
（Ⅲ）抛物线 焦点 ，可设直线 ．
由 ，
则 ．
由（Ⅱ）切线 的方程为 过点 ， ，
得 ，
同理 ．
消去 ，得
，由上
，即 的值为 ．
2
1． 已 知 三 点 ， ， ， 曲 线 上 任 意 一 点 满 足
（1）求曲线 的方程；
（2）点 ， 是曲线 上动点，曲线 在点 处的切线为 ，点 的坐标
是 ， 与 ， 分别交于点 ， ，求 与 的面积之比．
【解答】解：（1）由 ， 可得 ，
， ， ， ．
由题意可得 ，化简可得 ．
（2）由题意可得直线 ， 的方程分别为 、 ，且 ，
曲线 在点 ， 处的切线斜率为 ，
曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，
且与 轴的交点 ．
3
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