大题专练训练27：圆锥曲线（求直线方程）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 27—圆锥曲线（求直线方程）

1．已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，

为椭圆上一点，的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段

为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．

解：（1）由的面积为，则，得，所以，

又点在椭圆上， ①

因为是椭圆的焦点，所以 ②

由①②解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）假设存在直线满足题意，

因为的斜率，设的方程为，

联立方程组，整理得，

△ ，解得，

设，两点的坐标为，，，，则，，

以为直径的圆的方程为，

该圆经过原点，所以，

又，

所以，

解得，经检验满足题意，

所以存在直线满足题意，此时直线的方程为．

2．抛物线上任取两点，，，．已知的垂直平分线分别交

轴、轴于点，．

（Ⅰ）若的中点坐标为，求直线的斜率；

（Ⅱ）若的中点恰好在抛物线上，且，求直线的斜率．

解：（Ⅰ）设直线，，，，，的中点坐标为，

代入，得，，

则直线的斜率．

（Ⅱ）由（1）得，中点坐标为，显然，

则，

从而，，，

中点坐标为，

则，

又，故，

而，

故，

设，得，

，即，

又，得或，

又，，故或符合，

即，．

3．已知椭圆的离心率为，短轴长为 2．

（1）求椭圆的标准方程；

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